§ 73. Условие эволюционности ударных волн

Для возможности реального существования гидродинамический разрыв должен быть устойчив относительно расщепления на два или более других разрывов. Это условие можно иначе сформулировать как требование, чтобы любое бесконечно малое возмущение начального состояния приводило бы лишь к бесконечно малым же изменениям разрыва; удовлетворяющие этому требованию разрывы называют эволюционными. Подчеркнем, что свойство эволюционности отнюдь не совпадает с устойчивостью в обычном смысле этого слова.

Обычная неустойчивость означает постепенное возрастание начального малого возмущения, приводящее в конце концов к разрушению данного режима движения; но даже при экспоненциальном (как ) возрастании в течение достаточно малого промежутка времени возмущение остается малым. В неэволюционном же разрыве возмущение сразу делается большим (хотя при малых t оно и занимает еще малую область пространства). Это иллюстрируется рисунком, на котором изображено расщепление скачка плотности на два последовательных скачка (рис. 41); возмущение не мало, хотя и занимает при малых t (когда оба разрыва еще не разошлись на заметное расстояние) лишь малый интервал .

Рис. 41.

Критерий эволюционности можно получить путем подсчета числа независимых параметров, определяющих произвольное начальное (при t = 0) малое возмущение разрыва, и числа уравнений (линеаризованных граничных условий на разрыве), которым они должны удовлетворять. Разрыв эволюционен, если оба числа одинаковы; тогда граничные условия однозначно определяют дальнейшее развитие возмущения, которое при малых t > 0 останется малым. Если же число уравнений больше или меньше числа неизвестных параметров, то задача о малом возмущении разрыва не имеет решения вовсе или имеет их бесконечное множество. Ни то, ни другое невозможно, и такая ситуация будет свидетельствовать о неправомерности исходного допущения (малость возмущения при малых ); разрыв неэволюционен.

В обычной гидродинамике требование эволюционности ударных волн не приводит к каким-либо дополнительным ограничениям по сравнению с условием возрастания энтропии: ударные волны, допускаемые теоремой Цемплена, автоматически эволюционны (см. VI § 84). В магнитной гидродинамике это не так, и требование эволюционности налагает новые существенные ограничения на характер изменения величин в ударной волне (А. И. Ахиезер, Г. Д. Любарский, Р. В. Половин, 1958).

Приступая к фактическому выяснению условия эволюционности магнитогидродинамических ударных волн, подсчитаем прежде всего число уравнений, которым должно удовлетворять произвольное малое возмущение на поверхности разрыва.

Будем представлять себе ударную волну как плоскую и выберем ее плоскость в качестве плоскости Положительное направление оси выберем в сторону движения гага через поверхность разрыва. Невозмущенные поля и скорости газа по обе стороны разрыва пусть лежат в плоскости

С каждой стороны поверхности разрыва подвергаются возмущению семь величин: три компоненты скорости жидкости две компоненты магнитного поля (Ну, ), плотность и энтропия s. Возмущения остальных термодинамических величин определяются возмущениями и s. В силу уравнения продольная компонента поля постоянна вдоль оси и возмущению не подвергается. Кроме того, возмущению подвергается скорость распространения самой ударной волны, т. е. у нее появляется малая скорость (обозначим ее ) по отношению к выбранной системе координат (в которой невозмущенный разрыв покоится). Эта скорость, однако, может быть сразу выражена через возмущения из условия непрерывности плотности потока массы через разрыв. Действительно, скорость газа относительно разрыва есть

где — невозмущенная скорость, возмущение; написав также линеаризовав граничное условие и опустив затем индекс 0 у невозмущенных величин, получим

откуда определяется

Линеаризация граничных условий непрерывности компоненты потока импульса и компоненты электрического поля (т. е. - компонент уравнений (70,4-5)) дает два уравнения

(напомним, что невозмущенные значения Эти уравнения содержат возмущения только двух величин:

Граничные же условия непрерывности потока энергии , компонент потока импульса и компоненты электрического поля (т. е. уравнения (70,2-3) и -компоненты уравнений (70, 4-5)) дают четыре линейных уравнения, которые содержат возмущения

мы не будем выписывать их здесь.

Подсчитаем теперь число параметров, определяющих возмущение ударной волны.

Возмущения, зависящие от времени как распространяются в обе стороны от разрыва в виде магнитагидродинамических волн трех видов (альфвеновские, быстрые и медленные магнитозвуковые) и в виде энтропийной волны; последняя представляет собой малое возмущение энтропии, которое (в силу адиабатичности течения газа) переносится вместе с самим газом, с его скоростью. При этом все эти волны должны, конечно, быть уходящими — распространяться влево или вправо от разрыва. В каждой волне изменения всех величин связаны друг с другом определенными соотношениями (как это было показано в § 69); поэтому каждая волна определяется всего одним параметром — амплитудой какой-либо одной величины.

Магнитозвуковые и энтропийные волны переносят возмущения (73,2), а альфвеновские волны возмущения (73,1). Поскольку уравнения для этих двух групп возмущений разделяются, то условие эволюционности должно быть выполнено для каждой из них в отдельности (С. И. Сыроватский, 1958); это обстоятельство еще усиливает возникающие ограничения.

Рассмотрим сначала условия эволюционности относительно альфвеновских возмущений. Оно требует, чтобы число уходящих волн равнялось двум по числу уравнений. Фазовые скорости альфвеновских волн относительно поверхности разрыва могут быть равны

где — фазовая скорость (69,6) волны относительно газа. По условленному выбору направления оси скорости газа . В области 1 перед разрывом волна уходит от него, если ее фазовая скорость (относительно разрыва) отрицательна, а в области 2 позади разрыва если она положительна. Волна со скоростью этому условию никогда не удовлетворяет (она всегда приходящая), а волна со скоростью — уходящая при . Аналогичным образом волна со скоростью всегда уходящая, а со скоростью - уходящая при Поэтому существуют две области эволюционности относительно альфвеновских волн:

Эти области отмечены на рис. 42 вертикальной штриховкой; рисунок построен с учетом неравенств

Рис. 42.

Условие эволюционности по отношению к магнитозвуковым и энтропийным возмущениям требует, чтобы число уходящих волн было равно четырем.

Уходящая энтропийная волна, перемещающаяся вместе с газом, всегда существует, но только со стороны 2. Число уходящих магнитозвуковых волн должно поэтому быть равно трем. Рассуждения, подобные проведенным выше для альфвеновских волн, приводят к двум областям эволюционности по отношению к рассматриваемой группе возмущений, показанных на рис. 42 горизонтальной штриховкой.

Пересечение обеих штриховок определяет две области эволюционности относительно всех возмущений: 1) быстрые ударные волны, для которых

и 2) медленные ударные волны, для которых

(мы вернулись к обозначению нормальной компоненты скорости газа как вместо ). В предельном случае слабой интенсивности волны (малые скачки всех величин) быстрые и медленные ударные волны распространяются со скоростью соответственно

Применим полученные условия эволюционности к выяснению характера изменения магнитного поля в ударной волне. Исходим из равенства (72,2) или

Заметив, что можно иначе переписать его в виде

С учетом неравенств (73,4-5) из (73,7) видно, что тангенциальные поля по обе стороны ударной волны не только коллинеарны, но и направлены в одну сторону.

В медленных ударных волнах с обеих сторон разрыва

Заметив также, что из непрерывности потока массы, и из неравенства следует, что

заключаем из (73,6), что медленной ударной волне тангенциальное магнитное поле ослабляется.

В быстрой же волне и из (73,6) следует, что — тангенциальное магнитное поле усиливается.

Отметим частный случай ударных волн, в котором магнитное поле с обеих сторон поверхности разрыва параллельно нормали к ней. Как было указано в начале § 72, всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы с обеих сторон векторы v и Н были параллельны друг другу. Тогда в рассматриваемом случае будет

(параллельная ударная волна). Для такой волны граничные условия вообще не содержат магнитного поля, т. е. совпадают с граничными условиями для ударной волны в обычной гидродинамике. Наличие магнитного поля приводит, однако, к тому, что в определенном интервале значений параметров волны нарушаются условия эволюционности и такие волны становятся невозможными (см, задачу).

Что касается рассмотренных в конце предыдущего параграфа перпендикулярных ударных волн, то все такие волны сжатия эволюционны, причем они являются быстрыми волнами. Последнее очевидно уже из того, что при скорости .

Рассмотрев различные типы разрывов в магнитной гидродинамике, остановимся еще на вопросе о возможности существования переходных случаев между этими типами, т. е. разрывов, которые обладали бы одновременно свойствами двух типов. Такие возможности сильно ограничены условиями, вытекающими из требования эволюционности.

Прежде всего, альфвеновский разрыв не может непрерывно перейти в ударную волну. Действительно, в ударной волне нормаль к поверхности разрыва и магнитное поле по обе ее стороны лежат в одной плоскости. Такая ударная волна может совпасть с альфвеновским разрывом, только если в нем вектор Н поворачивается на 180°. Но тогда тангенциальная компонента поля меняет знак, между тем как в эволюционной ударной волне она не меняет знака.

Между быстрой и медленной ударными волнами непрерывный переход был бы возможен только при так как в быстрой волне поле (если оно отлично от нуля) усиливается, а в медленной ослабляется; другими словами, непрерывный переход мог бы быть только между параллельными быстрой и медленной волнами. Но области эволюционности этих волн соприкасаются только при когда медленная волна исчезает (см. задачу 1). Таким образом, непрерывный переход между быстрыми и медленными ударными волнами невозможен.

Быстрая волна не может непрерывно перейти в тангенциальный разрыв в силу неравенств (73,4).

Таким образом, возможны непрерывные переходы лишь между тангенциальным разрывом, с одной стороны, и контактным разрывом, альфвеновским разрывом или медленной ударной волной — с другой.