Главная > Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 73. Условие эволюционности ударных волн

Для возможности реального существования гидродинамический разрыв должен быть устойчив относительно расщепления на два или более других разрывов. Это условие можно иначе сформулировать как требование, чтобы любое бесконечно малое возмущение начального состояния приводило бы лишь к бесконечно малым же изменениям разрыва; удовлетворяющие этому требованию разрывы называют эволюционными. Подчеркнем, что свойство эволюционности отнюдь не совпадает с устойчивостью в обычном смысле этого слова.

Обычная неустойчивость означает постепенное возрастание начального малого возмущения, приводящее в конце концов к разрушению данного режима движения; но даже при экспоненциальном (как ) возрастании в течение достаточно малого промежутка времени возмущение остается малым. В неэволюционном же разрыве возмущение сразу делается большим (хотя при малых t оно и занимает еще малую область пространства). Это иллюстрируется рисунком, на котором изображено расщепление скачка плотности на два последовательных скачка (рис. 41); возмущение не мало, хотя и занимает при малых t (когда оба разрыва еще не разошлись на заметное расстояние) лишь малый интервал .

Рис. 41.

Критерий эволюционности можно получить путем подсчета числа независимых параметров, определяющих произвольное начальное (при t = 0) малое возмущение разрыва, и числа уравнений (линеаризованных граничных условий на разрыве), которым они должны удовлетворять. Разрыв эволюционен, если оба числа одинаковы; тогда граничные условия однозначно определяют дальнейшее развитие возмущения, которое при малых t > 0 останется малым. Если же число уравнений больше или меньше числа неизвестных параметров, то задача о малом возмущении разрыва не имеет решения вовсе или имеет их бесконечное множество. Ни то, ни другое невозможно, и такая ситуация будет свидетельствовать о неправомерности исходного допущения (малость возмущения при малых ); разрыв неэволюционен.

В обычной гидродинамике требование эволюционности ударных волн не приводит к каким-либо дополнительным ограничениям по сравнению с условием возрастания энтропии: ударные волны, допускаемые теоремой Цемплена, автоматически эволюционны (см. VI § 84). В магнитной гидродинамике это не так, и требование эволюционности налагает новые существенные ограничения на характер изменения величин в ударной волне (А. И. Ахиезер, Г. Д. Любарский, Р. В. Половин, 1958).

Приступая к фактическому выяснению условия эволюционности магнитогидродинамических ударных волн, подсчитаем прежде всего число уравнений, которым должно удовлетворять произвольное малое возмущение на поверхности разрыва.

Будем представлять себе ударную волну как плоскую и выберем ее плоскость в качестве плоскости Положительное направление оси выберем в сторону движения гага через поверхность разрыва. Невозмущенные поля и скорости газа по обе стороны разрыва пусть лежат в плоскости

С каждой стороны поверхности разрыва подвергаются возмущению семь величин: три компоненты скорости жидкости две компоненты магнитного поля (Ну, ), плотность и энтропия s. Возмущения остальных термодинамических величин определяются возмущениями и s. В силу уравнения продольная компонента поля постоянна вдоль оси и возмущению не подвергается. Кроме того, возмущению подвергается скорость распространения самой ударной волны, т. е. у нее появляется малая скорость (обозначим ее ) по отношению к выбранной системе координат (в которой невозмущенный разрыв покоится). Эта скорость, однако, может быть сразу выражена через возмущения из условия непрерывности плотности потока массы через разрыв. Действительно, скорость газа относительно разрыва есть

где — невозмущенная скорость, возмущение; написав также линеаризовав граничное условие и опустив затем индекс 0 у невозмущенных величин, получим

откуда определяется

Линеаризация граничных условий непрерывности компоненты потока импульса и компоненты электрического поля (т. е. - компонент уравнений (70,4-5)) дает два уравнения

(напомним, что невозмущенные значения Эти уравнения содержат возмущения только двух величин:

Граничные же условия непрерывности потока энергии , компонент потока импульса и компоненты электрического поля (т. е. уравнения (70,2-3) и -компоненты уравнений (70, 4-5)) дают четыре линейных уравнения, которые содержат возмущения

мы не будем выписывать их здесь.

Подсчитаем теперь число параметров, определяющих возмущение ударной волны.

Возмущения, зависящие от времени как распространяются в обе стороны от разрыва в виде магнитагидродинамических волн трех видов (альфвеновские, быстрые и медленные магнитозвуковые) и в виде энтропийной волны; последняя представляет собой малое возмущение энтропии, которое (в силу адиабатичности течения газа) переносится вместе с самим газом, с его скоростью. При этом все эти волны должны, конечно, быть уходящими — распространяться влево или вправо от разрыва. В каждой волне изменения всех величин связаны друг с другом определенными соотношениями (как это было показано в § 69); поэтому каждая волна определяется всего одним параметром — амплитудой какой-либо одной величины.

Магнитозвуковые и энтропийные волны переносят возмущения (73,2), а альфвеновские волны возмущения (73,1). Поскольку уравнения для этих двух групп возмущений разделяются, то условие эволюционности должно быть выполнено для каждой из них в отдельности (С. И. Сыроватский, 1958); это обстоятельство еще усиливает возникающие ограничения.

Рассмотрим сначала условия эволюционности относительно альфвеновских возмущений. Оно требует, чтобы число уходящих волн равнялось двум по числу уравнений. Фазовые скорости альфвеновских волн относительно поверхности разрыва могут быть равны

где — фазовая скорость (69,6) волны относительно газа. По условленному выбору направления оси скорости газа . В области 1 перед разрывом волна уходит от него, если ее фазовая скорость (относительно разрыва) отрицательна, а в области 2 позади разрыва если она положительна. Волна со скоростью этому условию никогда не удовлетворяет (она всегда приходящая), а волна со скоростью — уходящая при . Аналогичным образом волна со скоростью всегда уходящая, а со скоростью - уходящая при Поэтому существуют две области эволюционности относительно альфвеновских волн:

Эти области отмечены на рис. 42 вертикальной штриховкой; рисунок построен с учетом неравенств

Рис. 42.

Условие эволюционности по отношению к магнитозвуковым и энтропийным возмущениям требует, чтобы число уходящих волн было равно четырем.

Уходящая энтропийная волна, перемещающаяся вместе с газом, всегда существует, но только со стороны 2. Число уходящих магнитозвуковых волн должно поэтому быть равно трем. Рассуждения, подобные проведенным выше для альфвеновских волн, приводят к двум областям эволюционности по отношению к рассматриваемой группе возмущений, показанных на рис. 42 горизонтальной штриховкой.

Пересечение обеих штриховок определяет две области эволюционности относительно всех возмущений: 1) быстрые ударные волны, для которых

и 2) медленные ударные волны, для которых

(мы вернулись к обозначению нормальной компоненты скорости газа как вместо ). В предельном случае слабой интенсивности волны (малые скачки всех величин) быстрые и медленные ударные волны распространяются со скоростью соответственно

Применим полученные условия эволюционности к выяснению характера изменения магнитного поля в ударной волне. Исходим из равенства (72,2) или

Заметив, что можно иначе переписать его в виде

С учетом неравенств (73,4-5) из (73,7) видно, что тангенциальные поля по обе стороны ударной волны не только коллинеарны, но и направлены в одну сторону.

В медленных ударных волнах с обеих сторон разрыва

Заметив также, что из непрерывности потока массы, и из неравенства следует, что

заключаем из (73,6), что медленной ударной волне тангенциальное магнитное поле ослабляется.

В быстрой же волне и из (73,6) следует, что — тангенциальное магнитное поле усиливается.

Отметим частный случай ударных волн, в котором магнитное поле с обеих сторон поверхности разрыва параллельно нормали к ней. Как было указано в начале § 72, всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы с обеих сторон векторы v и Н были параллельны друг другу. Тогда в рассматриваемом случае будет

(параллельная ударная волна). Для такой волны граничные условия вообще не содержат магнитного поля, т. е. совпадают с граничными условиями для ударной волны в обычной гидродинамике. Наличие магнитного поля приводит, однако, к тому, что в определенном интервале значений параметров волны нарушаются условия эволюционности и такие волны становятся невозможными (см, задачу).

Что касается рассмотренных в конце предыдущего параграфа перпендикулярных ударных волн, то все такие волны сжатия эволюционны, причем они являются быстрыми волнами. Последнее очевидно уже из того, что при скорости .

Рассмотрев различные типы разрывов в магнитной гидродинамике, остановимся еще на вопросе о возможности существования переходных случаев между этими типами, т. е. разрывов, которые обладали бы одновременно свойствами двух типов. Такие возможности сильно ограничены условиями, вытекающими из требования эволюционности.

Прежде всего, альфвеновский разрыв не может непрерывно перейти в ударную волну. Действительно, в ударной волне нормаль к поверхности разрыва и магнитное поле по обе ее стороны лежат в одной плоскости. Такая ударная волна может совпасть с альфвеновским разрывом, только если в нем вектор Н поворачивается на 180°. Но тогда тангенциальная компонента поля меняет знак, между тем как в эволюционной ударной волне она не меняет знака.

Между быстрой и медленной ударными волнами непрерывный переход был бы возможен только при так как в быстрой волне поле (если оно отлично от нуля) усиливается, а в медленной ослабляется; другими словами, непрерывный переход мог бы быть только между параллельными быстрой и медленной волнами. Но области эволюционности этих волн соприкасаются только при когда медленная волна исчезает (см. задачу 1). Таким образом, непрерывный переход между быстрыми и медленными ударными волнами невозможен.

Быстрая волна не может непрерывно перейти в тангенциальный разрыв в силу неравенств (73,4).

Таким образом, возможны непрерывные переходы лишь между тангенциальным разрывом, с одной стороны, и контактным разрывом, альфвеновским разрывом или медленной ударной волной — с другой.

1
Оглавление
email@scask.ru