ГЛАВА III. ПОСТОЯННЫЙ ТОК

§ 21. Плотность тока и проводимость

От изучения электрических полей, создаваемых неподвижными зарядами, мы перейдем теперь к рассмотрению стационарного движения зарядов в проводниках (постоянный электрический ток).

Будем обозначать среднюю плотность потока зарядов посредством j; ее называют плотностью электрического тока. В постоянном токе пространственное распределение j не зависит от времени и подчиняется уравнению

выражающему собой постоянство полного среднего заряда, заключенного в любой части объема проводника.

Электрическое поле, существующее внутри проводника, по которому течет постоянный ток, тоже постоянно, а потому удовлетворяет уравнению

т. е. имеет потенциал.

К уравнениям (21,1) и (21,2) должно еще быть присоединено уравнение, связывающее между собой величины j и Е. Эта связь зависит от свойств вещества проводника. В огромном большинстве случаев ее можно считать линейной (закон Ома).

Если проводник однороден и изотропен, то линейная зависимость сводится к простой пропорциональности

Коэффициент 0 зависит от рода и состояния проводника; его называют коэффициентом электропроводности, или просто проводимостью тела.

В однородном проводнике и подстановка (21,3) в (21,1) дает . Поэтому в этом случае потенциал электрического поля удовлетворяет уравнению Лапласа .

На границе раздела двух проводящих сред нормальная компонента плотности тока должна, очевидно, быть непрерывной.

Кроме того, согласно общему условию непрерывности тангенциальной компоненты напряженности (следующему из уравнения , ср. (1,7) и (6,9)) должно быть непрерывно отношение . Таким образом, граничные условия для плотности тока гласят:

или для напряженности поля

На границе же проводника с непроводящей средой имеем просто или

Электрическое поле, поддерживающее ток, производит над перемещающимися в проводнике заряженными частицами (носителями тока) механическую работу; работа, производимая в 1 с в единице объема, равна, очевидно, произведению Эта работа диссипируется в веществе проводника, переходя в тепло. Таким образом, количество тепла, выделяющегося в 1 с в 1 см3 однородного проводника, равно

(закон Джоуля—Ленца).

Выделение тепла приводит к возрастанию энтропии тела. При выделении тепла энтропия данного элемента объема увеличивается на . Поэтому скорость изменения полной энтропии тела равна

В силу закона возрастания энтропии эта производная должна быть положительной. Подставив в нее мы видим, что из этого требования можно сделать заключение о положительности проводимости а.

В анизотропном теле (монокристалле) направления векторов j и Е, вообще говоря, не совпадают и линейная связь между ними выражается формулами вида

где величины составляют симметричный (см. ниже) тензор второго ранга (тензор проводимости).

Здесь необходимо сделать следующее замечание. Сама по себе симметрия кристалла могла бы допустить наличие свободного члена в линейной связи между j и Е, т. е. формулу вида

с постоянным вектором Наличие такого члена означало бы «пироэлектричность» проводника — в отсутствие тока в нем существовало бы отличное от нуля поле. В действительности, однако, это невозможно в силу закона возрастания энтропии: член в подынтегральном выражении в (21,7) заведомо мог бы иметь оба знака, в результате чего не могла бы быть существенно положительной величиной.

Подобно тому как в изотропной среде условие приводит к положительности а, так в анизотропном теле из этого условия следует положительность главных значений тензора

Зависимость числа независимых компонент тензора от симметрии кристалла такая же, как у всякого симметричного тензора второго ранга (см. § 13): у двухосных кристаллов все три главных значения различны, у одноосных — два из них одинаковы, а у кубических — все три одинаковы, т. е. кубический кристалл в отношении своих свойств проводимости ведет себя как изотропное тело.

Симметричность тензора проводимости

является следствием принципа симметрии кинетических коэффициентов. Формулировка этого общего принципа, принадлежащего Л. Онсагеру, удобная для применения здесь и ниже (в §§ 26 — 28), заключается в следующем (ср. V § 120).

Пусть - некоторые величины, характеризующие состояние тела в каждой его точке. Наряду с ними вводим величины

(21,10)

где - энтропия единицы объема тела, а производная берется при постоянной энергии этого объема. В состоянии, близком к равновесному, величины близки к своим равновесным значениям, а величины малы. При этом в теле будут происходить процессы, стремящиеся привести его в состояние равновесия. О скоростях изменения величин при этих процессах можно обычно утверждать, что они являются в каждой точке тела функциями только значений величин в тех же точках. Разлагая эти функции в ряд по степеням и ограничиваясь линейными членами в разложении, получим соотношения вида

(21,11)

Тогда можно утверждать, что коэффициенты (кинетические коэффициенты) симметричны по индексам а и b:

(21,12)

Для фактического использования этого принципа необходимо, выбрав тем или иным способом величины (или прямо их производные ), определить соответствующие Эта задача обычно может быть весьма просто решена с помощью формулы, определяющей скорость изменения со временем полной энтропии тела:

(21,13)

где интегрирование производится по всему объему тела.

В данном случае при прохождении тока через проводник для этой скорости мы имеем формулу (21,7). Сравнивая ее с (21,13), мы видим, что если в качестве величин выбрать компоненты вектора плотности тока j, то соответствующими величинами будут компоненты вектора . Сравнение же формул (21,8) и (21,11) показывает, что роль кинетических коэффициентов играют при этом умноженные на Т компоненты тензора проводимости, симметрия которого следует, таким образом, непосредственно из общих соотношений (21,12).