§ 34. Самоиндукция линейных проводников

При вычислении коэффициента самоиндукции линейного проводника нельзя полностью пренебречь его толщиной, как мы это делали для вычисления взаимной индукции двух проводников. Сделав так, мы получили бы из (33,9) самоиндукцию в виде

где оба интеграла берутся по одному и тому же контуру; но этот интеграл логарифмически расходится при

Точное значение самоиндукции проводника зависит от распределения тока в нем, которое может быть различным в зависимости от способа возбуждения тока, т. е. от того, каким образом приложена к нему электродвижущая сила. Но для линейного провода самоиндукция оказывается не зависящей от закона распределения тока по его сечению с довольно большой степенью точности.

Представим самоиндукцию в виде суммы , где и L; связаны с энергией магнитного поля соответственно вне и внутри проводника. У линейного провода основную часть самоиндукции составляет «внешняя» часть Это связано с тем, что основная часть магнитной энергии замкнутого линейного контура заключена в поле вне провода на больших (по сравнению с его толщиной) расстояниях. Действительно, энергия, приходящаяся на единицу длины неограниченно длинного прямого провода, дается интегралом

( — расстояние от оси провода, — магнитная проницаемость внешней среды). Этот интеграл логарифмически расходится при больших . Для замкнутого линейного контура эта расходимость, разумеется, исчезнет интеграл «обрежется» на расстояниях порядка величины размеров контура. Мы получим приближенное значение энергии, умножив написанный интеграл на полную длину провода l и взяв для верхнего предела значение I (нижний же предел равен радиусу а провода):

Отсюда самоиндукция

Это выражение обладает, как говорят, логарифмической точностью, его относительная погрешность порядка величины а отношение предполагается настолько большим, что и его логарифм велик

Особым случаем линейных проводников является катушка (соленоид), в которой провод намотан по спирали с очень близко расположенными друг к другу витками. Пренебрегая толщиной провода и расстояниями между витками, мы получим просто цилиндрическую проводящую поверхность, по которой течет «поверхностный» ток проводимости. Уравнение внутри проводника заменяется при таком рассмотрении просто граничным условием

где - поверхностная плотность тока, и - напряженности поля по обе стороны поверхности соленоида, а нормаль направлена внутрь среды вывод формулы

Если соленоид представляет собой бесконечный цилиндр, то создаваемое им магнитное поле определяется совсем просто. Поверхностные токи циркулярны, а их плотность где - ток, текущий по проводу, а — число витков на единицу длины соленоида. Поле вне цилиндра равно нулю, а внутри имеется однородное поле, направленное вдоль оси цилиндра и равное

Действительно, такое поле очевидным образом удовлетворяет уравнениям во всем пространстве вне проводящей поверхности, а также граничному условию (34,2) на ней.

Соответственно, энергия поля, отнесенная к единице длины цилиндра, есть

— радиус цилиндра, относится к среде, заполняющей соленоид). Пренебрегая искажением поля на концах, можно применить эту формулу и к соленоиду конечной большой (по сравнению с b) длины h.

Тогда для самоиндукции получим

где — полная длина провода в катушке. Увеличение самоиндукции соленоида по сравнению с самоиндукцией ненавитого провода той же длины (ср. (34,3) с (34,1)) является естественным следствием взаимной индукции между близко расположенными витками.