§ 40. Энергия магнитной анизотропии

Как уже было указано, анизотропия магнитных свойств ферромагнетика связана со сравнительно слабыми релятивистскими взаимодействиями между его атомами. В макроскопической теории эта анизотропия описывается путем введения в термодинамический потенциал соответствующих членов — энергии магнитной анизотропии, зависящей от направления намагничения.

Вычисление энергии анизотропии, исходя из микроскопической теории, требовало бы применения квантовомеханической теории возмущений, в которой роль возмущающей энергии играют члены в гамильтониане кристалла, описывающие релятивистские взаимодействия. Но общий вид искомых выражений может быть установлен и без проведения этих вычислений, на основании простых соображений симметрии.

Гамильтониан релятивистских взаимодействий содержит члены первой и второй степени по операторам векторов спина электронов (спин-орбитальное и спин-спиновое взаимодействия). Малость тех и других определяется отношением , где v — порядок величины скоростей атомных электронов, а с — скорость света. Ряд теории возмущений для энергии анизотропии есть разложение по этой малости, но ввиду указанной зависимости оператора возмущения от операторов спина, энергия анизотропии автоматически получается в виде ряда по степеням направляющих косинусов вектора намагниченности, т. е. компонент единичного вектора в направлении М. С другой стороны, энергия анизотропии как и сам потенциал Ф (ср. примечание на стр. 199), инвариантна по отношению к обращению времени, между тем как намагниченность М при этом преобразовании меняет знак. Отсюда следует, что энергия анизотропии должна быть четной функцией компонент т.

Для одно- и двухосных кристаллов разложение энергии анизотропии начинается с членов второй степени по компонентам т. Представим эти члены в виде

где — симметричный тензор второго ранга, компоненты которого имеют (как и сама ) размерность плотности энергии.

В одно- и двухосных кристаллах такой тензор имеет соответственно две и три независимые компоненты. Однако в данном случае надо еще иметь в виду, что одна квадратичная комбинация, именно не зависит от направления вектора m и потому может быть исключена из энергии анизотропии. Следовательно, выражение (40,1) для одно- и двухосных кристаллов содержит соответственно всего один или два независимых коэффициента.

Так, для одноосных кристаллов энергию анизотропии можно написать в виде

или в эквивалентном виде

где — угол между m и осью , выбранной вдоль главной оси симметрии кристалла. Если коэффициент (функция температуры) то энергия анизотропии минимальна при намагничении вдоль оси z; эта ось будет, как говорят, направлением легкого намагничения, а о таком ферромагнетике говорят, что он относится к типу «легкая ось». Если же , то направление легкого намагничения лежит в плоскости (базисная плоскость кристалла); такой ферромагнетик относится, как говорят, к типу «легкая плоскость». Выражение (40,2) изотропно в плоскости Эта изотропия, однако, нарушается в членах более высокого порядка в разложении которыми и определяется (при направление легкого намагничения в плоскости Вид этих членов зависит от конкретной кристаллической системы, к которой относится кристалл.

Для тетрагональных кристаллов члены четвертого порядка содержат два независимых инварианта и у выбраны вдоль двух осей 2-го порядка в базисной плоскости). К анизотропии в базисной плоскости приводит второй из них.

В гексагональном кристалле энергия анизотропии содержит в четвертом порядке всего один член, пропорциональный в этом приближении энергия анизотропии записывается как

(коэффициент из (40,2) обозначен здесь как ).

Анизотропия в базисной плоскости, однако, появляется лишь в членах 6-го порядка; анизотропным инвариантом этого порядка является

(ось х выбрана вдоль одной из осей 2-го порядка в базисной плоскости; от нее же отсчитывается азимутальный угол

Наконец, ромбоэдрическая симметрия допускает два члена четвертого порядка с инвариантами

(ось у — вдоль одной из осей 2-го порядка; угол отсчитывается от оси х). Наличие множителя во втором из инвариантов приводит к выходу направления легкого намагничения на малый угол из базисной плоскости; ввиду малости определение направления легкого намагничения требовало бы одновременного учета членов как 4-го, так и 6-го порядков (среди которых есть член с инвариантом (40,4)).

Перейдем к ферромагнитным кристаллам кубической системы. Их свойства существенно отличаются от свойств одноосных (и двухосных) кристаллов. Дело в том, что единственной комбинацией второго порядка, инвариантной по отношению к преобразованиям кубической симметрии, которую можно составить из компонент вектора является квадрат Поэтому первым неисчезающим членом в разложении энергии анизотропии у кубического кристалла является член не второго, а четвертого порядка. В связи с этим эффекты магнитной анизотропии у кубических кристаллов, вообще говоря, слабее, чем в одно- и двухосных кристаллах.

Кубическая симметрия допускает всего один независимый инвариант четвертого порядка, зависящий от направления . Энергия анизотропии кубического ферромагнетика может быть представлена в виде

или

эквивалентность обоих выражений очевидна из того, что их разность есть не зависящая от направления величина

При (например, у железа) энергия анизотропии достигает одинаковых по величине минимальных значений при трех расположениях вектора — параллельно трем ребрам куба (оси х, у, z кристаллографические направления ). Таким образом, в этом случае кристалл имеет три эквивалентные оси легкого намагничения.

Если же (например, у никеля), то энергия анизотропии минимальна при т. е. когда вектор направлен вдоль какой-либо из четырех пространственных диагоналей куба (кристаллографические направления [111], [111] и т. д.). Они и являются в этом случае направлениями легкого намагничения.

Следующему после (40,7) приближению в энергии анизотропии кубического кристалла отвечают члены шестого порядка. Исключив из их числа не зависящий от направления инвариант и выражение, отличающееся от (40,7) лишь множителем мы останемся всего с одним инвариантом, в качестве которого можно выбрать Тогда

Следует отметить, что ферромагнитный кубический кристалл, спонтанно намагниченный вдоль какой-либо из своих осей легкого намагничения, теряет, строго говоря, кубическую симметрию (в связи с чем происходит и соответствующее смещение атомов, т. е. искажение кристаллической решетки). Кристалл, намагниченный вдоль направления ребра куба, становится слабо тетрагональным, а при намагничении вдоль пространственной диагонали куба — ромбоэдрическим. В этом отношении кубические кристаллы отличаются от одноосных кристаллов с направлением легкого намагничения вдоль главной оси симметрии; очевидно, что намагничение в этом направлении не меняет симметрии кристалла.

Подчеркнем снова, что рассмотренное в этом параграфе разложение энергии анизотропии ферромагнетика по степеням компонент единичного вектора m не есть разложение по самой намагниченности М (которая, вдали от точки Кюри, отнюдь не - сходимость ряда связана лишь со слабостью релятивистских взаимодействий. Но вблизи точки Кюри, где величина М мала, оно становится разложением по М. В рамках теории Ландау отсюда следовало бы, что в одноосном кристалле отношение (К из ) должно стремиться при к отличному от нуля конечному значению. Для пояснения этого утверждения рассмотрим, например, переход из парамагнитной фазы в ферромагнитную типа легкая ось. Согласно (39,3) и (40,2), квадратичные члены разложения термодинамического потенциала по степеням компонент М имеют вид

Точка перехода определяется обращением в нуль коэффициента при коэффициент же при остается конечным.

Аналогичным образом, в кубическом ферромагнетике должно было бы стремиться к конечному значению отношение (К из (40,7)).

Во флуктуационной области, однако, указанное поведение коэффициентов анизотропии, вообще говоря, нарушается.