ГЛАВА X. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

§ 85. Геометрическая оптика

Условие применимости геометрической оптики заключается, как известно, в малости длины волны к по сравнению с характеристическими размерами задачи I (см. II § 53). Связь геометрической оптики с волновой устанавливается тем, что при всякая величина , описывающая поле волны (любая из компонент Е или Н), выражается формулой вида

где амплитуда а — медленно меняющаяся функция координат и времени, а фаза - большая величина, являющаяся «почти линейной» функцией координат и времени. Последняя называется в геометрической оптике эйконалом и играет в ней основную роль. Ее производная по времени определяет частоту волны:

а производные по координатам — волновой вектор:

и тем самым направление лучей в каждой точке пространства.

У монохроматической волны в стационарных условиях частота есть постоянная величина и зависимость эйконала от времени дается слагаемым . Введем тогда вместо другую функцию (которую тоже будем называть эйконалом) согласно

есть функция только координат, а ее градиент

где — вектор, связанный с к посредством

Абсолютная величина вектора равна показателю преломления среды.

Поэтому уравнение эйконала для распространения лучей в среде с показателем преломления , являющимся заданной функцией координат, есть

Уравнение распространения лучей (в стационарных условиях) может быть получено также из принципа Ферма, согласно которому для траектории луча между двумя заданными точками пространства А и В минимален интеграл

Приравнивая нулю вариацию этого интеграла, имеем

Пусть — смещение траектории луча при варьировании. Тогда имеем

где I — единичный вектор касательной к лучу. Подставив в б и произведя во втором члене интегрирование по частям (учитывая, что в точках А и ), получим

Отсюда

Раскрыв производную и подставив перепишем это уравнение в виде

Это и есть уравнение, определяющее форму лучей.

Как известно из дифференциальной геометрии, производная вдоль луча равна , где N — единичный вектор главной нормали, a R — радиус кривизны луча. Умножив уравнение (85,8) с обеих сторон на N и учитывая взаимную перпендикулярность N и l, получим

Луч изгибается в сторону увеличения показателя преломления.

Скорость распространения лучей в геометрической оптике направлена вдоль 1 и дается производной

(85,10)

Эту скорость называют также групповой, а отношение - фазовой скоростью. Последняя не соответствует скорости реального физического распространения какой бы то ни было величины.

Легко написать также уравнение, определяющее изменение интенсивности света вдоль луча. Интенсивность представляет собой абсолютную величину усредненного (по времени) вектора Пойнтинга. Последний направлен вместе с групповош скоростью вдоль 1:

В стационарных условиях средняя плотность энеогии поля в каждой точке пространства не меняется со временем. Поэтому уравнение сохранения энергии гласит: или

(85,11)

Это и есть искомое уравнение.

Наконец, рассмотрим вопрос о том, как меняетоя вдоль луча направление поляризации линейно поляризованного света (С. М. Рытов, 1938).

Как известно из дифференциальной геометрии, пространственная кривая (в данном случае луч) характеризуетйя в каждой своей точке тремя взаимно перпендикулярными единичными векторами касательной 1, главной нормали N и бинормали b (так называемый естественный трехгранник). В силу топеречности электромагнитных волн вектор Е (или Н) лежит всегда в нормальной плоскости — плоскости N, b.

Пусть в некоторой точке луча направление Е совпадает с направлением N, т. е. лежит в соприкасающейся плоскости (плоскость N, 1). Как известно, отклонение кривой на длине dl от соприкасающейся плоскости является бесконечно малой величиной высшего (третьего) порядка. Поэтому можно; утверждать, что при перемещении вдоль луча на расстояние вектор Е остается в первоначальной соприкасающейся плоскости. Новая же соприкасающаяся плоскость поворачивается относительно старой на угол , где Т — радиус кручения кривой. Этому же будет равен, следовательно, угол поворота вектара Е по отношению к вектору N в нормальной плоскости. Таким образом, при перемещении вдоль луча направление поляризации вращается в нормальной плоскости так, что его угол с направлением главной нормали меняется согласно уравнению

(85,12)

В частности, в отсутствие кручения, т. е. когда луч является плоской кривой, направление вектора Е в нормальной плоскости остается неизменным, как это и заранее очевидно из соображений симметрии.