§ 101. Магнитооптические эффекты

При наличии постоянного магнитного поля Н тензор перестает быть симметричным. Обобщенный принцип симметрии кинетических коэффициентов связывает компоненты в различных полях:

(101,1)

Условие отсутствия поглощения требует лишь эрмитовости этого тензора:

(101,2)

(как это видно из (96,5)), а не его вещественности.

Из (101,2) следует только, что вещественная и мнимая части должны быть соответственно симметричной и антисимметричной:

(101,3)

Учитывая (101,1), имеем

т. е. в непоглощающей среде величины являются четными, а - нечетными функциями Н.

Такими же свойствами симметрии обладает, очевидно, и обратный тензор . В дальнейших вычислениях будет удобнее пользоваться именно этим тензором. Во избежание многочисленных индексов введем для него специальное обозначение:

(101,5)

(которым мы пользовались уже и ранее).

Как известно, всякий антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен (дуален) некоторому аксиальному вектору; для тензора обозначим этот вектор посредством G. С помощью антисимметричного единичного тензора связь между компонентами тензора и вектора G записывается в виде

(101,6)

а в компонентах:

Связь между электрической индукцией и напряженностью принимает при этом вид:

(101,7)

Аналогичным образом выглядит прямая зависимость D от Е:

(101,8)

Связь между коэффициентами в (101,7) и (101,8) дается формулами:

где - определители тензоров (ср. задачу к § 22). Среду с такой формой зависимости между D и Е называют гиротропной. Вектор g называют вектором гирации, a G — вектором оптической активности.

Произведем общее исследование характера волн, распространяющихся в произвольной гиротропной среде, считая при этом среду анизотропной и не делая никаких предположений о величине магнитного поля.

Выберем направление волнового вектора в качестве оси z и напишем уравнение (97,21):

(101,10)

где индексы пробегают значения х, у. Направления осей х и у выберем вдоль главных осей двумерного тензора , а соответствующие главные значения этого тензора обозначим как ; тогда уравнения примут следующий вид:

(101,11)

Условие равенства нулю определителя этой системы дает квадратное по уравнение:

корни которого определяют два значения , относящиеся к заданному направлению :

Подставляя эти значения обратно в уравнения (101,11), найдем соответствующие отношения:

Чисто мнимое отношение означает, что волны эллиптически поляризованы, причем главные оси эллипсов поляризации совпадают с осями х, у. Произведение двух значений этого отношения равно, как легко видеть, единице.

Другими словами, если в одной волне

(где вещественное число есть отношение длин осей эллипса поляризации), то во второй волне

Это значит, что эллипсы поляризации двух волн имеют одинаковое отношение осей, но повернуты относительно друг друга на 90°; направление вращения в них противоположно (рис. 57).

Если обозначить векторы D в обеих волнах как то полученные соотношения могут быть записаны в виде

Такое соотношение является общим свойством собственных векторов, возникающих при приведении к главным осям эрмитового тензора (в данном случае — тензора ).

Рис. 57.

Компоненты вектора G и тензора являются функциями напряженности магнитного поля. Если (как это обычно имеет место) магнитное поле является сравнительно слабым, то можно произвести разложение по его степеням. Вектор G равен нулю в отсутствие поля; поэтому в слабом поле можно положить

(101,15)

где — тензор второго ранга, в общем случае несимметричный. Такая форма зависимости находится в согласии с общим правилом, согласно которому в прозрачной среде компоненты антисимметричного тензора (как и тензора ) должны быть нечетными функциями Н. Что же касается симметричного тензора то его компоненты являются четными функциями магнитного поля. Поэтому первые поправочные, по сравнению со значениями в отсутствие поля, члены в — второго порядка по полю (в пренебрежении этими членами из (101,9) имеем просто

В общем случае произвольного направления волнового вектора магнитное поле сравнительно мало влияет на распространение света в кристалле, вызывая лишь появление слабой эллиптичности колебаний с малым (первого порядка по полю) отношением длин осей эллипса поляризации.

Исключение в отношении характера магнитооптического эффекта представляют направления оптических осей (и близкие к ним), вдоль которых оба значения в отсутствие поля совпадают.

Корни уравнения (101,12) отличаются тогда от этих значений на величины первого порядка малости и возникают эффекты, аналогичные эффектам в изотропных телах, к рассмотрению которых мы теперь и перейдем. Магнитооптический эффект в изотропных телах (а также в кристаллах кубической системы) представляет особый интерес ввиду его своеобразного характера и сравнительно большой величины.

Пренебрегая величинами второго порядка малости, имеем , где — диэлектрическая проницаемость изотропной среды в отсутствие магнитного поля. Зависимость между D и Е дается формулами

(101,16)

причем векторы g и G связаны, в том же приближении, соотношением

(101,17)

Зависимость g (или G) от внешнего поля сводится в изотропной среде к простой пропорциональности:

(101,18)

скалярная постоянная может быть как положительной, так и отрицательной.

В уравнении (101,12) имеем теперь ; это — коэффициент преломления в отсутствие поля. Отсюда

или, с той же точностью,

(101,19)

Вспоминая, что ось выбрана вдоль вектора , можно написать эту формулу с той же точностью в следующем векторном виде:

(101,20)

Отсюда видно, что поверхность волновых векторов представляет собой в данном случае совокупность двух сфер радиуса центры которых смещены вдоль направления G на расстояние от начала координат.

Каждому из двух значений соответствует своя поляризация волны; именно,

(101,21)

где знаки соответствуют знакам в (101,19).

Равенство абсолютных значений при сдвиге фаз между ними означает круговую поляризацию волны с направлением вращения вектора D соответственно против и по часовой стрелке, если смотреть вдоль направления волнового вектора (или, как принято говорить, соответственно право- и левополяризованные волны).

Разница между показателями преломления лево- и правополяризованных волн приводит к тому, что при преломлении на поверхности гиротропного тела возникают две поляризованные по кругу преломленные волны (так называемое двойное круговое преломление).

Пусть линейно поляризованная плеская волна падает в нормальном направлении на плоскопараллельный слой вещества (толщины l). Направление падения выберем в качестве оси , а направление вектора в падающей волне — в качестве оси х. Линейное колебание можно представить в виде суммы двух круговых колебаний с противоположными направлениями вращения, которые будут затем распространяться в слое вещества с различными волновыми векторами . Положив амплитуду волны условно равной единице, будем иметь

или, введя

при выходе волны из слоя будем иметь

Вещественность этого отношения означает, что волна остается линейно поляризованной, но с повернутым относительно первоначального направлением поляризации (эффект Фарадея). Угол поворота плоскости поляризации пропорционален пройденному волной пути; на единице длины вдоль направления волнового вектора он составляет

(101,23)

где - угол между

Следует отметить, что при заданном направлении магнитного поля направление вращения плоскости поляризации (по отношению к направлению ) при изменении знака меняется на обратное — правое вращение переходит в левое и наоборот.

Поэтому, если луч проходит один и тот же путь дважды (туда и обратно), то суммарное вращение плоскости поляризации будет вдвое больше, чем после одного прохождения.

При (волновом вектор перпендикулярен к магнитному полю) линейный по поло эффект, описывающихся формулами (101,19), исчезает (в соответствии с указанным выше общим правилом, что из всех компонент вектора g на распространение света влияет лишь его проекция на направление ). Поэтому при углах 0, близких к должны учитываться также и члены, пропорциональные квадрат) поля. В частности, должны быть учтены члены второго порядка и в тензоре В силу аксиальной симметрии вокруг направления поля два главных значения симметричного тензора будут одинаковы (как у одчоосного кристалла). Мы выбираем ниже ось вдоль направления поля и обозначаем главные значения в направлениях параллельно и перпендикулярно к магнитному полю посредством разность пропорциональна .

Рассмотрим квадратичный эффект, возникающий при взаимно перпендикулярных и g (эффект Коттона—Мутона). В уравнениях (101,11 —12) имеем в этом случае равны соответственно Таким образом, в одной из волн

эта волна линейно поляризована с вектором D, направленным параллельно оси В другой же волне

т. е. D направлен вдоль оси Пусть линейно поляризованный свет падает в нормальном направлении на плоскопараллельный слой вещества, находящийся в параллельном ему магнитном поле. Две компоненты прошедшего в вещество света (с векторами D в плоскостях xz и yz) распространяются с различными значениями п. В результате этого свет, выходящий через противоположную сторону слоя, оказывается эллиптически поляризованным.

Наконец, остановимся еще на одном своеобразном эффекте, возникающем в среде с линейным по (постоянному) магнитному полю вектором оптической активности (101,15): намагничение немагнитной прозрачной среды переменным электрическим полем (Л. П. Питаевский, 1960).

Будем исходить из общей формулы (31,6)

причем учтем вклад в от переменного электрического поля, даваемый формулой (80,11).

Согласно теореме о малых добавках к термодинамическим величинам, изменение этого вклада при малом изменении диэлектрической проницаемости совпадает (будучи выражено через соответствующие переменные) с изменением свободной энергии . Для последнего можно воспользоваться формулой (14,1), обобщив ее очевидным образом на анизотропные среды (о том, что эта формула остается справедливой для переменного — а не постоянного, как в § 14, поля в прозрачной среде с дисперсией, было упомянуто в § Таким образом, имеем

(лишний множитель 1/2 учитывает представление Е в комплексном виде); последнее равенство в (101,24) — следствие того, что в силу определения имеем

Понимая теперь варьирование диэлектрической проницаемости как результат изменения постоянного магнитного поля, пишем

где относится к среде в отсутствие электрического поля. Если среда сама по себе немагнитна то Тогда намагниченность равна

В отсутствие внешнего магнитного поля значение производной надо взять при из (101,6) и (101,15) получим окончательно следующее выражение для намагниченности, создаваемой переменным электрическим полем:

(101,25)

она квадратична по электрическому полю. Если в отсутствие магнитного поля среда изотропна, то и тогда

Для линейно поляризованного поля вектор D может отличаться от вещественного лишь фазовым множителем; тогда D и D коллинеарны и выражение (101,25) или (101,26) обращается в нуль. Таким образом, намагничение возникает только под действием вращающегося электрического поля. Этот эффект в некотором смысле обратен эффекту вращения плоскости поляризации в магнитном поле и выражается через тот же тензор его называют поэтому обратным эффектом Фарадея.