Задачи

1. Определить поле, создаваемое точечным зарядом , расположенным на расстоянии h от плоской границы раздела двух различных диэлектрических сред.

Решение. Назовем точку, в которой находится заряд в среде 1, точкой О, а ее зеркальное отображение по другую сторону плоскости раздела (в среде 2) точкой О (рис. 11).

Будем искать поле в среде 1 как поле, создаваемое двумя точечными зарядами, - зарядом и фиктивным зарядом в точке метод изображений, § 3):

где - расстояния точки наблюдения соответственно от . Поле же в среде 2 ищем в виде поля, создаваемого фиктивным зарядом находящимся в точке О:

На граничной плоскости должны выполняться условия (7,5), из которых получаем уравнения

отсюда

При имеем т. е. мы возвращаемся к результату, полученному в § 3 для поля точечного заряда вблизи проводящей плоскости.

Сила, действующая на заряд (сила изображения), равна

F > 0 соответствует отталкиванию.

Рис. 11

2. То же для бесконечной прямой заряженной нити, расположенной параллельно плоскости раздела на расстоянии h от нее.

Решение вполне аналогично решению предыдущей задачи, с той разницей, что потенциалы поля в обеих средах:

где - заряды на единице длины нити и ее «изображений», а — расстояния в плоскости, перпендикулярной к нитям. Для , «получаются те же выражения (1), а сила, действующая на единицу длины нити,

3. Определить поле, создаваемое бесконечной прямой заряженной нитью, расположенной (в среде с диэлектрической проницаемостью ) параллельно цилиндру (с ) радиуса а расстоянии b от его оси.

Решение. Поле в среде будем искать как поле, которое создавалось бы в однородном диэлектрике реальной заряженной нитью (проходящей через точку О, рис. 12) с зарядом на единице длины и двумя фиктивными нитями с зарядами проходящими соответственно через точки А и О. Точка А расположена на расстоянии от центра окружности; тогда для всех точек окружности расстояния соответственно до точек О к А находятся в постоянном отношении в результате чего окажется возможным удовлетворить граничным условиям на этой окружности.

Поле же в среде 2 будем искать как поле, которое создавали бы в однородной среде фиктивные заряды на нити, проходящей через О.

Граничные условия на поверхности раздела удобно сформулировать с помощью потенциала и векторного потенциала (ср. § 3), определенного (в согласии с уравнением в плоской задаче вектор А направлен вдоль оси (перпендикулярно к плоскости рисунка). Условия непрерывности касательных компонент Е и нормальной компоненты D эквивалентны условиям

Для поля заряженной нити имеем в полярных координатах :

(ср. (3,18)). Поэтому граничные условия гласят:

(обозначение углов дано на рис. 12; использовано подобие треугольников Отсюда и для снова получаются выражения (1) из задачи 1.

Рис. 12.

Рис. 13.

Сила, действующая на единицу длины заряженной нити, параллельна 00 и равна

( соответствует отталкиванию). В пределе это выражение переходит в результат задачи 1.

4. То же, если нить проходит внутри цилиндра с диэлектрической проницаемостью

Решение. Поле в среде 2 ищем как поле реальной нити (точка О на рис. 13) и фиктивной нити , проходящей через точку А, расположенную теперь вне цилиндра. Поле же в среде 1 ищем как поле нитей с зарядами — проходящих соответственно через . Тем же способом, как и в предыдущей задаче, получим

Нить отталкивается (при ) от цилиндра с силой

5. Показать, что потенциал поля создаваемый в точке произвольной неоднородной диэлектрической среды точечным зарядом , находящимся в точке равен потенциалу создаваемому в точке тем же зарядом, находящимся в точке

Решение. Потенциалы удовлетворяют уравнениям

Умножив первое из них на а второе на и вычтя почленно одно из другого, найдем

Интегрирование этого равенства по всему пространству дает искомое соотношение: