Задачи
1. Определить поле, создаваемое точечным зарядом
, расположенным на расстоянии h от плоской границы раздела двух различных диэлектрических сред.
Решение. Назовем точку, в которой находится заряд
в среде 1, точкой О, а ее зеркальное отображение по другую сторону плоскости раздела (в среде 2) точкой О (рис. 11).
Будем искать поле в среде 1 как поле, создаваемое двумя точечными зарядами, - зарядом
и фиктивным зарядом
в точке
метод изображений, § 3):
где
- расстояния точки наблюдения соответственно от
. Поле же в среде 2 ищем в виде поля, создаваемого фиктивным зарядом
находящимся в точке О:
На граничной плоскости
должны выполняться условия (7,5), из которых получаем уравнения
отсюда
При
имеем
т. е. мы возвращаемся к результату, полученному в § 3 для поля точечного заряда вблизи проводящей плоскости.
Сила, действующая на заряд
(сила изображения), равна
F > 0 соответствует отталкиванию.
Рис. 11
2. То же для бесконечной прямой заряженной нити, расположенной параллельно плоскости раздела на расстоянии h от нее.
Решение вполне аналогично решению предыдущей задачи, с той разницей, что потенциалы поля в обеих средах:
где
- заряды на единице длины нити и ее «изображений», а
— расстояния в плоскости, перпендикулярной к нитям. Для
, «получаются те же выражения (1), а сила, действующая на единицу длины нити,
3. Определить поле, создаваемое бесконечной прямой заряженной нитью, расположенной (в среде с диэлектрической проницаемостью
) параллельно цилиндру (с
) радиуса а
расстоянии b
от его оси.
Решение. Поле в среде
будем искать как поле, которое создавалось бы в однородном диэлектрике
реальной заряженной нитью (проходящей через точку О, рис. 12) с зарядом
на единице длины и двумя фиктивными нитями с зарядами
проходящими соответственно через точки А и О. Точка А расположена на расстоянии
от центра окружности; тогда для всех точек окружности расстояния
соответственно до точек О к А находятся в постоянном отношении
в результате чего окажется возможным удовлетворить граничным условиям на этой окружности.
Поле же в среде 2 будем искать как поле, которое создавали бы в однородной среде
фиктивные заряды
на нити, проходящей через О.
Граничные условия на поверхности раздела удобно сформулировать с помощью потенциала
и векторного потенциала (ср. § 3), определенного
(в согласии с уравнением
в плоской задаче вектор А направлен вдоль оси
(перпендикулярно к плоскости рисунка). Условия непрерывности касательных компонент Е и нормальной компоненты D эквивалентны условиям
Для поля заряженной нити имеем в полярных координатах
:
(ср. (3,18)). Поэтому граничные условия гласят:
(обозначение углов дано на рис. 12; использовано подобие треугольников
Отсюда
и для
снова получаются выражения (1) из задачи 1.
Рис. 12.
Рис. 13.
Сила, действующая на единицу длины заряженной нити, параллельна 00 и равна
(
соответствует отталкиванию). В пределе
это выражение переходит в результат задачи 1.
4. То же, если нить проходит внутри цилиндра с диэлектрической проницаемостью
Решение. Поле в среде 2 ищем как поле реальной нити
(точка О на рис. 13) и фиктивной нити
, проходящей через точку А, расположенную теперь вне цилиндра. Поле же в среде 1 ищем как поле нитей с зарядами
—
проходящих соответственно через
. Тем же способом, как и в предыдущей задаче, получим
Нить отталкивается (при
) от цилиндра с силой