Главная > Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА VIII. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

§ 65. Уравнения движения жидкости в магнитном поле

Если проводящая жидкая (или газообразная) среда находится в магнитном поле, то при ее гидродинамических движениях в ней индуцируются электрические поля и возникают электрические токи. Но на токи в магнитном поле действуют силы, которые могут существенно повлиять на движение жидкости. С другой стороны, эти токи меняют и само магнитное поле. Таким образом, возникает сложная картина взаимодействия магнитных и гидродинамических явлений, которая должна рассматриваться на основе совместной системы уравнений поля и уравнений движения жидкости.

В область применений магнитной гидродинамики входят очень разнообразные физические объекты — от жидких металлов до космической плазмы. Мы не будем обсуждать специфические условия, существующие в различных конкретных объектах. Укажем лишь, что для буквальной применимости магнитной гидродинамики необходимо, разумеется, чтобы для рассматриваемого движения характерные расстояния и промежутки времени были велики по сравнению соответственно с длиной пробега и временем пробега носителей тока (электронов, ионов). В некоторых случаях, однако, уравнениями, совпадающими формально с уравнениями магнитной гидродинамики идеальной жидкости, может описываться и движение среды с большой длиной пробега. Такая ситуация имеет, например, место в неравновесной плазме с температурой электронов, много большей температуры ионов (ср. X § 38).

Магнитная проницаемость сред, о которых фактически идет речь в магнитной гидродинамике, мало отличается от единицы, и это отличие не имеет значения для изучаемых здесь явлений. Поэтому везде в этой главе мы будем полагать .

Составим, прежде всего, систему магнитогидродинамических уравнений в условиях, когда можно пренебречь всеми диссипативными процессами для идеальной жидкости.

Это значит, что не учитываются как процессы вязкости и теплопроводности, так и конечность электрической проводимости среды а; последняя рассматривается как сколь угодно большая.

Положив в уравнениях (63,7) , пишем

Гидродинамические уравнения содержат уравнение непрерывности

( — плотность жидкости) и уравнение Эйлера

где -объемная плотность сторонних, в данном случае электромагнитных, сил. Согласно (35,4) имеем

Таким образом, уравнение движения жидкости принимает вид

К этим уравнениям надо еще присоединить уравнение состояния

связывающее между собой давление, плотность и температуру жидкости, и уравнение сохранения энтропии, выражающее адиабатичность движения в отсутствие диссипации:

где - энтропия единицы массы жидкости, а

обозначает «субстанциональную» производную, определяющую изменение величины при перемещении вместе с движущейся частицей жидкости. Уравнения (65,1-6) и составляют полную систему магнитогидродинамических уравнений идеальной жидкости.

Как известно, уравнение Эйлера может быть приведено (с использованием также и уравнения непрерывности) к виду, выражающему закон сохранения импульса:

где — тензор плотности потока импульса (см. VI § 7). В отсутствие сторонних сил

Преобразовав последний член в уравнении (65,4) с помощью равенства

и учтя также, что , найдем, что в магнитной гидродинамике

(65,8)

Как и должно быть, к тензору добавляется максвелловский тензор напряжений.

Закон сохранения энергии в обычной гидродинамике выражается уравнением

где — внутренняя энергия и тепловая функция единицы массы жидкости; оно автоматически следует из уравнений движения (см. VI § 6). При наличии в проводящей среде магнитного поля к плотности энергии добавляется магнитная энергия , а к плотности потока энергии — вектор Пойнтинга . В последнем надо при этом выразить Е через Н согласно формуле

получающейся из (63,2) при (и конечном ). Таким образом, сохранение энергии в магнитной гидродинамике выражается уравнением

где плотность потока энергии

(65,11)

Легко проверить это уравнение и прямым вычислением.

В основе написанной системы магнитогидродинамических уравнений лежит пренебрежение током смещения в уравнениях Максвелла. Это значит, что предполагается

(65,12)

Выразив Е через Н согласно (65,9), получим отсюда условие

(65,13)

где — характерные для данного движения параметры длины и времени.

Из (65,2) имеем оценку и тогда из (65,13) находим условие движение должно быть нерелятивистским (что и предполагалось нами с самого начала). Из уравнения же (65,4) имеем оценку в совокупности с (65,13) это дает условие для величины магнитного поля:

(65,14)

Обратим внимание на то, что в левой стороне уравнения (65,10) нет электрической энергии а в левой стороне уравнения (65,7) нет импульса электромагнитного поля . Это — автоматическое следствие пренебрежения током смещения. Малость электрической энергии по сравнению с магнитной соответствует неравенству , а малость по сравнению с — неравенству (65,14).

Вернемся к уравнению (65,2); ему может быть дано важное наглядное истолкование (Н. Alfven, 1942). Раскроем в правой стороне уравнения, учтя при этом, что

Подставив сюда согласно уравнению непрерывности (65,3)

получим после простой перегруппировки членов:

(65,15)

С другой стороны, рассмотрим какую-либо «жидкую линию», т. е. линию, перемещающуюся вместе с составляющими ее частицами жидкости. Пусть - элемент длины этой линии; определим, как он меняется с течением времени. Если v есть скорость жидкости в точке на одном конце элемента 61, то ее скорость на другом конце есть Поэтому в течение времени элемент изменится на , т. е.

Мы видим, что изменение векторов со временем определяется одним и тем же уравнением. Отсюда следует, что если в начальный момент эти векторы совпадают по направлению, то они останутся параллельными и в дальнейшем, а их длины будут меняться пропорционально друг другу. Другими словами, если две бесконечно близкие частицы жидкости находятся на одной и той же силовой линии, то они будут находиться на одной и той же силовой линии и в дальнейшем, а величина будет меняться пропорционально расстоянию между ними.

Переходя от бесконечно близких точек к точкам, находящимся на любом конечном расстоянии друг от друга, мы приходим к выводу, что каждая силовая линия перемещается вместе с находящимися на ней жидкими частицами. Можно сказать, что (при а ) магнитные силовые линии как бы вморожены в вещество жидкости, перемещаясь вместе с ним. Величина же меняется в каждой точке пропорционально растяжению соответствующей «жидкой линии». Если движущуюся жидкость можно считать несжимаемой, то и тогда пропорционально растяжению силовых линий меняется сама напряженность Я.

Эти результаты имеют и другой наглядный аспект. Из них следует, что при перемещении со временем какого-либо замкнутого жидкого контура он не будет пересекать силовых линий. Это значит (ср. § 63), что поток магнитного поля через всякую поверхность, опирающуюся на жидкий контур, остается неизменным во времени.

1
Оглавление
email@scask.ru