§ 106. Пространственная дисперсия вблизи линии поглощения

В двух предыдущих параграфах эффекты пространственной дисперсии рассматривались как малые поправки, как это обычно и имеет место. Ситуация меняется, однако, вблизи узкой линии поглощения в кристалле, где согласно резко возрастает. В этой области учет пространственной дисперсии меняет картину даже качественно.

Дело в том, что добавление в диэлектрическую проницаемость членов со степенями k повышает порядок алгебраического дисперсионного уравнения, определяющего зависимость . Поэтому при формальном его решении возникают дополнительные корни. Вдали от линии поглощения эти корни лежат в области больших k, т. е. вне области применимости теории, и потому должны быть отброшены. Но вблизи линии поглощения проницаемость меняется существенно уже при малых k и могут возникнуть дополнительные корни, имеющие реальный физический смысл, т. е. возникают новые поперечные волны.

Мы ограничимся, для простоты, рассмотрением изотропных сред и начнем со случая, когда среда не гиротропна — обладает естественной оптической активностью (С. И. Пекар, 1957; В. Л. Гинзбург, 1958).

Как уже было указано в предыдущем параграфе, изотропная среда остается оптически изотропной и при учете пространственной дисперсии. Это значит, что закон дисперсии поперечных электромагнитных волн в такой среде дается обычным уравнением , причем под надо понимать поперечную проницаемость :

(106,1)

В § 103 было указано, что как функции частоты удовлетворяют тем же соотношениям Крамерса — Кронига, что и функция без пространственной дисперсии.

Поэтому можно утверждать, что вблизи линии поглощения функция имеет такой же вид, как и в (84,7), но с постоянными, зависящими от запишем ее в виде

Если величина А относительно мала, то может иметь смысл учесть, наряду с полюсным членом, также и постоянный (не зависящий от ) член в обозначим его и будем считать, что , т. е. вдали от линии поглощения среда оптически прозрачна. Теоретическая допустимость одновременного учета постоянного и полюсного членов в требует, чтобы они сравнивались друг с другом в области частот , где только и применимо полюсное выражение; другими словами, должно быть .

Поскольку k по-прежнему предполагается малым, можно разложить функции по его степеням. При этом достаточно заменить постоянными значениями оставив поправочный член лишь в разложении функции в малой разности

Тогда проницаемость:

(106,2)

Отметим, что это выражение как функция частоты проходит через нуль в области При это происходит при . Поскольку при проницаемости совпадают, то есть предельная (при ) частота продольной волны (ср. (105,8)). Корень же функции при прямого физического смысла не имеет.

Дисперсионное уравнение (106,1) принимает теперь вид

(106,3)

где введено обозначение эта величина, может иметь оба знака. Решения этого уравнения можно рассматривать как результат пересечения двух ветвей спектра обычной световой волны с и волны с связанной с полюсом диэлектрической проницаемости; эти ветви показаны на рис. 58 штрихпунктирными прямыми. «Взаимодействие» этих ветвей, сила которого определяется величиной А, приводит к раздвижению линий.

На рис. 58 сплошными линиями схематически показаны зависимости , определяемые корнями уравнения (106,3); штриховые линии — функции без учета пространственной дисперсии Распространяющимся в среде волнам отвечают, конечно, лишь положительные корни

Рис. 58.

При (рис. 58, а) верхняя сплошная кривая проникает в область тем самым создавая здесь дополнительную волну, которой не было бы без учета пространственной дисперсии; при в среде возможно распространение двух различных электромагнитных волн. На рис. 58, б изображены кривые зависимости для случая . Левее точки с координатами

(точка, в которой и два корня сливаются) имеется два положительных корня и в среде могут распространяться две различные волны. То же самое относится к области между точкой с координатами

и точкой .

Если величина А не достаточно мала, сохранение постоянного члена в (106,2), строго говоря не последовательно. Опустив этот член (т. е. положив в написанных формулах мы придем к картине, отличающейся от рис. 58 тем, что горизонтальной асимптотой всех кривых становится сама ось абсцисс (вместо линии ).

Область оказывается при этом вне рассмотрения.

Обратимся к изучению ситуации вблизи линии поглощения в гиротропной среде (В. Л. Гинзбург, 1958).

Диэлектрическую проницаемость без учета пространственной дисперсии представим в виде полюсного выражения

Мы не будем теперь предполагать специальной малости коэффициента А и соответственно этому не пишем постоянного члена. Для связи между Е и D следует пользоваться формулой вида (104,13), выраженной через обратный тензор изотропной среде

(106,5)

где вектор оптической активности записан в виде Вблизи линии поглощения компоненты тензора проходят просто через нуль и нет оснований для нарушения сходимости его разложения по волновому вектору.

Дисперсионное уравнение имеет вид

где (ср. (101,12)). Подставив сюда из (106,4), получим уравнение

На рис. 59 сплошными линиями схематически показана зависимость корней этого уравнения от . Один из них существует как при так и при , где без учета пространственной дисперсии вещественных значений нет (штриховая кривая на рисунке функция ). Два других существуют лишь при — левее точки , в которой

Рис. 59.

Кривые функций проходят над линией , а кривая функции - под ней. Поэтому (как это ясно из уравнений (101,11), определяющих индукцию D в волне) волны 2 и 3 обладают круговой поляризацией одного, а волна 1 - другого знака.

Подчеркнем в заключение, что сами формулы (106,2) и (106,4) для проницаемости, а потому и основанные на них результаты, относятся лишь к частотам, достаточно далеким от центра линии: , где - ширина линии. При необходимо учитывать поглощение, т. е. мнимую часть проницаемости. Это может существенно изменить картину.