§ 114. Ионизационные потери быстрых частиц в веществе. Релятивистский случай

При скоростях, сравнимых со скоростью света, влияние поляризации среды на торможение быстрой частицы может стать, как мы увидим, весьма существенным, причем не только в конденсированных веществах, но даже и в газах.

Для вывода соответствующих формул применим метод, аналогичный использованному в предыдущем параграфе. При этом, однако, надо исходить из полных уравнений Максвелла. При наличии сторонних зарядов (с пространственной плотностью ) и сторонних токов (с плотностью ) эти уравнения гласят:

(114,2)

В данном случае распределение сторонних зарядов и токов дается формулами

(114,3)

Вводим скалярный и векторный потенциалы согласно обычным определениям:

(114,4)

в результате которых уравнения (114,1) удовлетворяются тождественно. На потенциалы А и накладываем дополнительное условие

(114,5)

являющееся обобщением налагаемого в теории излучения условия Лоренца. Тогда подстановка (114,4) в (114,2) приводит к следующим уравнениям для потенциалов:

Разложим А и в интегралы Фурье по координатам. Взяв компоненты Фурье от обеих сторон уравнений (114,6), получим

Отсюда видно, что зависимость от времени дается множителями Снова вводим обозначение и получаем

Компонента Фурье напряженности электрического поля

(114,8)

С помощью полученных формул действующая на частицу сила торможения находится так же, как это было сделано в предыдущем параграфе. С теми же обозначениями получим теперь для величины этой силы следующую формулу:

(при эта формула переходит, разумеется, в (114,5)).

Начнем с интегрирования по частотам. Имея в виду производить интегрирование в комплексной плоскости со, выясним предварительно, в каких точках верхней полуплоскости подынтегральное выражение имеет полюсы. Функция не имеет в этой области ни особых точек, ни нулей; поэтому искомыми полюсами могут быть только нули выражения

Покажем, что при всяком значении положительного вещественного числа это выражение обращается в нуль только при одном значении .

Для доказательства воспользуемся известной теоремой теории функций комплексной переменной, согласно которой интеграл

взятый по замкнутому контуру С, равен разности между числом нулей и числом полюсов функции в области, ограниченной контуром С. Пусть

положительное вещественное число, а в качестве С выберем контур, состоящий из вещественной оси и бесконечно удаленной полуокружности (рис. 61). Функция не имеет полюсов нигде в верхней полуплоскости (и на самой вещественной оси ); поэтому интеграл (114,10) прямо дает число нулей функции в верхней полуплоскости.

Рис. 61.

Для вычисления пишем этот интеграл в виде

причем интегрирование производится по контуру С в плоскости комплексной переменной являющемуся отображением контура С из плоскости . При функция При положительных вещественных значениях со имеем а при отрицательных

На бесконечности же поэтому пробегает бесконечно удаленную окружность, когда со пробегает полуокружность. Отсюда видно, что контур интегрирования С в плоскости выглядит так, как это схематически показано на рис. 61. При положительном вещественном а (как на рис. 61) при обходе вдоль С аргумент комплексного числа меняется на и интеграл (114,11) равен единице. Тем самым наше утверждение доказано.

Более того, легко видеть, что единственный корень уравнения лежит на мнимой оси . Действительно, при чисто мнимых со функция (вместе с функцией ) вещественна и пробегает все значения от 0 до в том числе все положительные значения

Вернемся к интегралу по в (114,9)

Его можно представить в виде разности между интегралом по контуру С и интегралом по бесконечно удаленной полуокружности. Второй из них равен

а первый равен умноженному на вычету подынтегрального выражения относительно его единственного полюса. Будем понимать под функцию, определяемую равенством

(114,12)

Тогда согласно известному правилу нахождения вычетов 1) найдем, что интеграл по С равен

Собрав полученные выражения и подставив в (114,9), найдем

или, заменив в первом члене интегрирование по dq интегрированием по ,

(114,13)

Большим значениям q соответствуют большие по абсолютной величине корни уравнения (114,12). воспользовавшись соответственно этому выражением (113,9) для , найдем

где введено обозначение

Подставив в (114,13), получим

(в интеграле достаточно оставить в ) главный член .

Интегрирование в (114,14) производится помнимым значениям . Введем вещественную переменную согласно обозначим нижний предел интеграла посредством снова введем обозначение (113,6) . Мы должны вычислить интеграл

Значения функции на мнимой оси могут быть выражены через значения ее мнимой части на вещественной оси по формуле

(ср. формулу (82,15)). Поэтому для рассматриваемого интеграла получаем (пренебрегая по сравнению с )

Подставим этот результат в (114,14), причем для упрощения записи введем обозначение

(114,15)

где черта обозначает усреднение с весом как это было сделано в (113,11). Тогда получим

При дальнейшем исследовании этой формулы надо отдельно рассмотреть два случая, Предположим сначала, что среда является диэлектриком, а скорость частицы удовлетворяет условию

(114,17)

где — электростатическое значение диэлектрической проницаемости. На мнимой оси функция монотонно убывает от значения при до 1 при Выражение же в левой стороне уравнения (114,12) при этом монотонно возрастает от 0 до Поэтому при уравнение (114,12) дает и Таким образом, в (114,16) надо положить при этом переходит в среднюю атомную частоту со (113,11):

(114,18)

(при эта формула, как и должно быть, переходит в (113,12)).

Значение удовлетворяет условию где а — порядок величины междуатомных расстояний (в конденсированной среде — размеров атомов). Для того чтобы продлить эту формулу в область больших значений передачи импульса и энергии, надо произвести ее «сшивку» с формулами обычной теории столкновений, подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе. Здесь, однако, сшивка должна быть произведена в два этапа. Сначала с помощью формулы (113,13) переходим к области значений q, соответствующих передачам энергии, большим по сравнению с атомными энергиями, но все еще нерелятивистским. Вид формулы (114,18) при этом не изменится, но в нее можно будет ввести энергию, -электрона, как Обозначив ее получим

(114,19)

Далее, можно перейти в область релятивистских значений воспользовавшись формулой релятивистской теории столкновений, согласно которой торможение с передачей энергии в интервале между Е и равно

(114,20)

если мало по сравнению с максимальной передачей допускаемой законами сохранения импульса и энергии при столкновении данной быстрой частицы со свободным электроном. Поскольку при интегрировании выражение (114,20) дает то ясно, что вид формулы (114,19) в результате не изменится, так что она относится ко всем значениям

При торможении быстрой тяжелой частицы (с массой и энергией Е хотя и релятивистской, но такой, что ) максимальная передача энергии электрону составляет и все еще мала по сравнению с Е (см. IV § 82, формула (82,23)). Для таких частиц дифференциальное выражение торможения на свободных электронах имеет вид

при любых значениях (см. IV § 82, формула (82,24)). Дополнительное (по отношению к (114,19)) торможение с передачей энергии от до (причем ) составляет в этом случае

Прибавив это выражение к (114,19), найдем полное торможение быстрой тяжелой частицы:

Эта формула отличается от результата обычной теории лишь определением «энергии ионизации» (ср. IV, формула (82,26)).

Перейдем теперь ко второму случаю, когда скорость частицы удовлетворяет условию

(114,23)

(этот случай, в частности, всегда имеет место для металлов, так как у них ). Выражение в левой стороне уравнения (114,12) в этом случае проходит (на мнимой оси ) через нуль дважды при и присо , где определяется равенством

(114,24)

В интервале между 0 и это выражение отрицательно, а при принимает все положительные значения от 0 до Поэтому при корень уравнения (114,12) стремится в этом случае к значению которое и должно быть подставлено в (114,15) и (114,16).

Здесь можно различать два предельных случая. Если значение оказывается малым по сравнению с атомными частотами то в (114,16) можно пренебречь последним членом, а . В результате мы снова приходим к формуле (114,18). В особенности же интересен обратный предельный случай, когда Поскольку при больших значениях g функция стремится к 1, то из (114,24) ясно, что этот случай соответствует ультрарелятивистским скоростям частицы.

Воспользовавшись для формулой (113,9), найдем из (114,24):

При увеличении скорости частицы условие в конце концов выполнится в любой среде, т. е. при любом значении электронной плотности N (в том числе и в газе). Однако необходимые скорости тем выше, чем меньше N, т. е. чем более разрежена среда.

Из (114,15) имеем теперь просто ; положив также у найдем, что последние два члена в (114,16) взаимно сокращаются и остается

Продлив эту формулу в область больших значений передачи импульса и энергии таким же образом, как это было сделано выше, найдем следующее выражение для торможения ультрарелятивистской частицы с передачей энергии, не превышающей (причем

Этот результат существенно отличается от даваемого обычной теорией, не учитывающей поляризации среды. Согласно последней (см. IV § 82) в ультрарелятивистском случае торможение продолжает возрастать при увеличении энергии частицы, хотя и сравнительно медленно по логарифмическому закону

Поляризация же среды приводит к такому экранированию заряда, в результате которого рост торможения в конце концов прекращается и оно стремится к конечному пределу, даваемому формулой (114,25), не содержащей у.

Для тяжелых частиц можно написать формулу и для полного торможения с любой передачей энергии вплоть до (при условии, что мало по сравнению с энергией самой частицы).

Используя снова выражение (114,21) (в котором можно теперь положить найдем

Мы видим, что полное торможение все же продолжает возрастать со скоростью частицы за счет близких столкновений с большой передачей энергии, в которых экранирующее влияние поляризации среды не проявляется. Это возрастание, однако, несколько более медленное, чем согласно теории, не учитывающей поляризацию. Согласно последней

(см. IV, формула (82,28)); коэффициент при члене с здесь вдвое больше, чем в (114,26).

Отметим также, что наличие электронной плотности N в аргументе логарифма в формулах (114,25-26) приводит к следующему свойству торможения ультрарелятивистских частиц: при прохождении такой частицей слоев различных веществ, содержащих одинаковое число электронов (на 1 см2 их поверхности), торможение оказывается меньшим в веществе с большим