§ 84. Прозрачные среды

Применим полученные в § 82 общие формулы к слабопоглощающим (в данной области частот) средам, т. е. будем предполагать, что для этих частот мнимой частью диэлектрической проницаемости можно пренебречь.

В таком случае в формуле (82,8) взятие главного значения становится излишним, так как точка фактически выпадает из области интегрирования. После этого интеграл можно дифференцировать по параметру как обычный интеграл, не имеющий особенностей в подынтегральном выражении. Произведя такое дифференцирование, получим

Ввиду положительности подынтегрального выражения во всей области интегрирования мы приходим к выводу, что

т. е. в области отсутствия поглощения диэлектрическая проницаемость — монотонно возрастающая функция частоты.

Аналогичным образом, в той же области частот получается еще и другое неравенство:

или

Если или даже отрицательна, то это неравенство сильнее неравенства (84,1).

Отметим, что неравенства (84,1) и (84,2) (и аналогичные — для ) автоматически гарантируют выполнение неравенства для скорости распространения волн. Так, при имеем и, вводя вместо в (84,1) и (84,2), получим

Поэтому для скорости и (83,10) получаются два неравенства: откуда видно, что как при так и при Эти неравенства показывают также, что , т. е. групповая скорость направлена в ту же сторону, что и волновой вектор. Это ее свойство вполне естественно, хотя с чисто логической точки зрения отнюдь не обязательно.

Предположим, что область слабого поглощения простирается в некотором широком интервале частот от до (причем и рассмотрим частоты такие, что Область интегрирования в (82,8) разбивается на две части: . В первой из них можно пренебречь в знаменателе подынтегрального выражения по сравнению с , а во второй — по сравнению с

т. е. функция в рассматриваемой области имеет вид , где а и b — положительные постоянные.

Вторую из них можно выразить через силу осцилляторов ответственных за поглощение в области от 0 до (ср. (82,12)), и тогда

Из этого выражения следует, что в достаточно широкой области слабого поглощения диэлектрическая проницаемость, вообще говоря, проходит через нуль. Напомним в этой связи, что прозрачной в буквальном смысле слова является среда, в которой не только вещественно, но и положительно; при отрицательном волна затухает в глубь среды, хотя в ней и не происходит истинной диссипации энергии.

Для частоты, при которой индукция D тождественно обращается в нуль и уравнения Максвелла допускают существование переменного электрического поля, удовлетворяющего одному лишь уравнению rot E = 0 при равном нулю магнитном поле. Другими словами, в этом случае возможно существование продольных электрических волн. Для определения скорости их распространения необходимо учитывать дисперсию диэлектрической проницаемости не только по частоте, но и по волновому вектору; мы вернемся к этому вопросу в § 105.

Пусть, наконец, в широкой области прозрачности имеется узкая область («линия») поглощения вокруг некоторой частоты . Рассмотрим окрестность этой частоты, удовлетворяющую условию

где — ширина линии. В этой области в подынтегральном выражении в (82,6) можно заменить на везде, кроме быстроменяющейся функции Тогда получим:

где интегрирование производится по линии поглощения.