§ 84. Прозрачные среды
Применим полученные в § 82 общие формулы к слабопоглощающим (в данной области частот) средам, т. е. будем предполагать, что для этих частот мнимой частью диэлектрической проницаемости можно пренебречь.
В таком случае в формуле (82,8) взятие главного значения становится излишним, так как точка
фактически выпадает из области интегрирования. После этого интеграл можно дифференцировать по параметру
как обычный интеграл, не имеющий особенностей в подынтегральном выражении. Произведя такое дифференцирование, получим
Ввиду положительности подынтегрального выражения во всей области интегрирования мы приходим к выводу, что
т. е. в области отсутствия поглощения диэлектрическая проницаемость — монотонно возрастающая функция частоты.
Аналогичным образом, в той же области частот получается еще и другое неравенство:
или
Если
или даже отрицательна, то это неравенство сильнее неравенства (84,1).
Отметим, что неравенства (84,1) и (84,2) (и аналогичные — для
) автоматически гарантируют выполнение неравенства
для скорости распространения волн. Так, при
имеем
и, вводя
вместо
в (84,1) и (84,2), получим
Поэтому для скорости и (83,10) получаются два неравенства:
откуда видно, что
как при
так и при
Эти неравенства показывают также, что
, т. е. групповая скорость направлена в ту же сторону, что и волновой вектор. Это ее свойство вполне естественно, хотя с чисто логической точки зрения отнюдь не обязательно.
Предположим, что область слабого поглощения простирается в некотором широком интервале частот от
до
(причем
и рассмотрим частоты
такие, что
Область интегрирования в (82,8) разбивается на две части:
. В первой из них можно пренебречь в знаменателе подынтегрального выражения
по сравнению с
, а во второй —
по сравнению с
т. е. функция
в рассматриваемой области имеет вид
, где а и b — положительные постоянные.
Вторую из них можно выразить через силу осцилляторов
ответственных за поглощение в области от 0 до
(ср. (82,12)), и тогда
Из этого выражения следует, что в достаточно широкой области слабого поглощения диэлектрическая проницаемость, вообще говоря, проходит через нуль. Напомним в этой связи, что прозрачной в буквальном смысле слова является среда, в которой
не только вещественно, но и положительно; при отрицательном
волна затухает в глубь среды, хотя в ней и не происходит истинной диссипации энергии.
Для частоты, при которой
индукция D тождественно обращается в нуль и уравнения Максвелла допускают существование переменного электрического поля, удовлетворяющего одному лишь уравнению rot E = 0 при равном нулю магнитном поле. Другими словами, в этом случае возможно существование продольных электрических волн. Для определения скорости их распространения необходимо учитывать дисперсию диэлектрической проницаемости не только по частоте, но и по волновому вектору; мы вернемся к этому вопросу в § 105.
Пусть, наконец, в широкой области прозрачности имеется узкая область («линия») поглощения вокруг некоторой частоты
. Рассмотрим окрестность этой частоты, удовлетворяющую условию
где
— ширина линии. В этой области в подынтегральном выражении в (82,6) можно заменить
на
везде, кроме быстроменяющейся функции
Тогда получим:
где интегрирование производится по линии поглощения.