§ 125. Интегральная интенсивность

Формулы, полученные в предыдущем параграфе, определяют интенсивность дифракции при падении на кристалл строго монохроматической и строго плоской волны. Рассмотрим теперь ряд случаев, в которых эти условия не выполнены.

Начнем со случая, когда падающая волна является плоской, но не монохроматической. Другими словами, ее спектральное разложение содержит волны с волновыми векторами к, одинаковыми по направлениям, но различными но величине . Обозначим посредством плотность распределения интенсивности падающего излучения по частотам, нормированную на единицу условием

Полная интенсивность дифракционного пятна определяется сечением, получающимся интегрированием выражения (124,13) по и по

(125,1)

Введем временно обозначение и напишем квадрат модуля в виде двойного интеграла:

Введя вместо переменные и произведя интегрирование по первым по объему тела, получим

В оставшемся интеграле можно теперь производить интегрирование по всем переменным в бесконечных пределах 1), в результате чего находим

(125,2)

Подставив этот результат в формулу (125,1), переписываем последнюю в виде

(125,3)

ввиду наличия -функции в подынтегральном выражении мы вынесли множитель заменив его значением при , где — угол между векторами , удовлетворяющими условиям Лауэ (обозначим их как и ).

Интегрирование по удобно произвести, заметив, что оно эквивалентно интегрированию по

при условии введения в подынтегральное выражение дополнительного множителя Таким образом, интеграл в (125,3) заменяется на

Произведя интегрирование по с помощью первой -функции, мы должны заменить во второй на в результате чего получаем

(125,4)

Наконец, произведем последнее интегрирование по (при заданном направлении ). Аргумент -функции обращается в нуль при и интеграл равен

Таким образом, получаем окончательно:

(125,5)

Рассмотрим теперь другой случай, в котором падающая волна монохроматична, но содержит компоненты с различными направлениями к, получающимися друг из друга вращением вокруг некоторой оси . Единичный вектор вдоль направления последней обозначим посредством 1, а угол поворота вокруг нее посредством . Функция пусть дает распределение интенсивности падающего излучения по углам, нормированное на единицу:

Все вычисления, приведшие к формуле (125,4), полностью относятся и к этому случаю, с той лишь разницей, что интегрирование по надо заменить интегрированием по :

Снова обозначим посредством значение к, для которого обращается в нуль аргумент -функции, и будем отсчитывать от плоскости Для малых имеем

Тогда интеграл в (125,6) принимает вид

Таким образом,

(125,7)

Наконец, рассмотрим дифракцию монохроматической плоской волны от тела, представляющего собой совокупность хаотически ориентированных кристалликов.

Обозначим посредством к и векторы л и b, направленные так, чтобы удовлетворялось условие Лауэ .

Направления неоднозначны, так как условие Лауэ, разумеется, продолжает выполняться при любом повороте треугольника вокруг направления л. Таким образом, главному максимуму отвечают направления к, заполняющие коническую поверхность с углом при вершине; вместо дифракционного пятна мы будем иметь теперь дифракционное кольцо.

Искомое полное сечение определится формулой, отличающейся от (125,4) лишь заменой интегрирования по усреднением по направлениям b:

(125,8)

( - элемент телесного угла в направлении b). Обозначив угол между л и b посредством а, пишем интеграл в (125,8) в виде

Таким образом,

(125,9)

Каждый из трех рассмотренных случаев соответствует определенному способу усреднения дифракционной картины. Отметим, что зависимость полной усредненной интенсивности дифракции от объема тела сводится при этом, как и следовало ожидать, к простой пропорциональности. Напомним, что в неусредненной картине зависимость интенсивности и ее распределения по пятну от объема более резкая.