§ 69. Магнитогидродинамические волны

Рассмотрим распространение малых возмущений в однородной проводящей среде, находящейся в однородном постоянном магнитном поле . При этом будем рассматривать жидкость как идеальную, т. е. пренебрежем всеми процессами диссипации в нейх).

Исходим из системы магнитогидродинамических уравнений (65,1-4). Уравнение же адиабатичности (65,6) означает лишь, что, если невозмущенная среда однородна, то и в возмущенной среде будет , т. е. движение изэнтропично.

Полагаем

где индексом 0 отмечены постоянные равновесные значения величин, малые изменения в волне. Малой того же порядка является и скорость v, равная нулю в равновесии. Ввиду изэнтропичности движения изменения плотности и давления связаны друг с другом равенством

где — квадрат обычной скорости звука в данной среде. Пренебрегая в уравнениях (65,1-4) малыми величинами порядка выше первого, получим следующую систему линейных уравнений:

Здесь и ниже для краткости обозначений индекс 0 у равновесных значений величин опускается.

Ищем решение этих уравнений в виде плоской волны Тогда система (69,1) сводится к системе алгебраических уравнений

(равенство же следующее из выполняется автоматически и может отдельно не рассматриваться).

Первое из уравнений (69,2) показывает, что вектор h перпендикулярен к волновому вектору, направление которого выберем в качестве оси Плоскость же, проходящую через k и Н, выберем в качестве плоскости . Кроме того, введем фазовую скорость волны . Исключив из третьего уравнения с помощью второго и переписав уравнения в компонентах, получим следующую систему:

Мы разбили здесь уравнения на две группы, из которых первая содержит только переменные , а вторая только . Отсюда следует, что возмущения этих двух групп переменных распространяются независимо друг от друга. Что касается возмущений плотпости (а с нею и давления), то они распространяются вместе с возмущениями будучи связаны с соотношением

Условие совместности двух уравнений (69,3) дает

(ниже будем считать, что и опускать знак модуля). В этих волнах испытывает колебания компонента магнитного поля, перпендикулярная к направлению распространения волны и направлению постоянного поля Н. Вместе с колеблется скорость связанная с посредством

Связь между (закон дисперсии), даваемая формулой (69,6), существенно зависит от направления волнового вектора

Физической же скоростью распространения волн является групповая скорость производная . В данном случае она равна

и не зависит от направления к; направление распространения волны, понимаемое как направление ее групповой скорости, совпадает с направлением поля Н.

Эти волны называют альфвеновскими (Н. Alfven, 1942), а скорость ( - альфвеновской скоростью.

Обратимся к волнам, описываемым уравнениями (69,4); их называют магнитозвуковыми. Составив определитель уравнений (69,4) и приравняв его нулю, получим квадратное по уравнение, корни которого:

Таким образом, мы получаем еще два типа волн; волны, отвечающие знакам + и — в формуле (69,10), называют соответственно быстрой и медленной магнитозвуковыми.

В предельном случае, когда имеем , а из уравнений (69,4) следует, что Другими словами, быстрые магнитозвуковые волны в пределе переходят в обычные звуковые волны, распространяющиеся со скоростью . Слабое поперечное магнитное поле в волне связано с посредством

В том же предельном случае скорость медленной магнитозвуковой волны совпадает с альфвеновской скоростью . При этом

как и в волне первого типа, но только с другой поляризацией: векторы v и h лежат в плоскости, проходящей через k и Н, а не перпендикулярно к ней.

В несжимаемой жидкости (чему формально соответствует предельный переход ) остается всего один тип волн — альфвеновские с двумя независимыми направлениями поляризации. Закон дисперсии для этих волн дается формулой (69,8), а векторы v и h перпендикулярны к волновому вектору и связаны соотношением

(69,11)

Тот факт, что при наличии продольного магнитного поля поперечные смещения жидкости распространяются в ней в виде волн, может быть наглядно истолкован. Ввиду «вмороженности» силовых линий, поперечное смещение частиц жидкости приводит к их искривлению и тем самым к растяжению и, в некоторых местах, сгущению. Но характер действующих в магнитном поле сил (выражаемых максвелловским тензором напряжений) таков, как если бы магнитные силовые линии стремились сокращаться и в то же время отталкиваться друг от друга.

Поэтому при их искривлении появляются квазиупругие силы, стремящиеся вновь выпрямить их, что и приводит к возникновению колебаний.

Обратимся снова к формулам (69,4) и (69,10) и рассмотрим обратный предельный случай, когда Для имеем тогда в первом приближении

Поскольку это выражение не зависит от к, то групповая скорость совпадает по величине с и направлена вдоль к. Вектор v в этой волне перпендикулярен к Н (рис. 40) и его абсолютная величина связана с посредством

Рис. 40.

Для имеем в этом случае

При этом групповая скорость

Вектор v в этой волне антипараллелен Н, а по величине связан с h посредством и

При произвольном соотношении между как так и мм зависят от направления волнового вектора. При увеличении угла между монотонно возрастает, а им монотонно убывает. Легко видеть, что всегда имеют место неравенства

(69,12)

Если , то равны соответственно большей и меньшей из величин и . Если же то имеем

(69,13)

а обращаются в нуль, т. е. остаются лишь быстрые магнитозвуковые волны.

Наконец, рассмотрим два точных решения уравнений магнитной гидродинамики в виде плоской волны произвольной (не обязательно малой) амплитуды.

Одно из них — плоская альфвеновская волна в несжимаемой жидкости, распространяющаяся со скоростью , т. е. являющаяся функцией и t только в комбинации Действительно, обратимся к точным уравнениям (65,1-4). Уравнение непрерывности (65,3) в несжимаемой жидкости сводится к откуда ; без ограничения общности можно положить , что сводится к надлежащему выбору системы отсчета. Из уравнения же следует, что . Обозначив поперечные компоненты Н посредством h, получим из уравнений (65,2) и (65,4)

т. е. точные уравнения автоматически сводятся к линейным уравнениям, описывающим плоскую волну с фазовой скоростью (69,6), причем v и h связаны соотношением (69,11); профиль волны, т. е. зависимость , произволен, х - компонента уравнения (65,4) дает

откуда

(69,14)

чем определяется ход изменения давления в волне.

Другой случай — простая волна, распространяющаяся перпендикулярно к магнитному полю (С. А. Каплан, К. П. Станюкович, 1954). Пусть поле направлено вдоль оси ось х — по-прежнему в направлении распространения волны. Тогда и уравнение div H = 0 удовлетворяется автоматически. Уравнения же (65,2-4) дают

(69-15)

Из первых двух уравнений следует, как легко убедиться, что отношение удовлетворяет уравнению

или , где полная лроизводная означает изменение величины при перемещении данного элемента жидкости. Отсюда следует, что если в начальный момент жидкость была однородна, так что b было в ней постоянно, то и в дальнейшем будет .

Подставив в третье уравнение, получим

Таким образом, магнитное поле исключается из уравнений, и задача сводится к решению уравнений (69,16) и (69,18). Но эти уравнения отличаются от уравнений одномерного движения в обычной гидродинамике лишь изменением уравнения состояния газа; вместо истинного уравнения (при заданной энтропии s) надо пользоваться уравнением

Это обстоятельство позволяет перенести на рассматриваемый случай магнитогидродинамического движения все результаты обычной гидродинамики. В частности, переносятся формулы точного решения для одномерных бегущих волн (риманово решение — простые волны; см. VI § 94), причем роль скорости звука в них будет играть

в соответствии с формулой (69,13).