§ 108. Нелинейная проницаемость

При слабой нелинейности первая поправка к линейной зависимости D от Е квадратична по полю. При наличии временной дисперсии она может быть представлена в произвольной анизотропной среде выражением

аналогичным (77,3). Разумеется, существование такого члена налагает определенные ограничения на допустимую симметрию среды; в частности, он отсутствует, если среда инвариантна относительно инверсии.

Хотя мы будем рассматривать ниже как типичный именно квадратичный по Е член вида (108,1), необходимо отметить, что в квадратичном приближении электрическая индукция D может содержать также и билинейные по компонентам Е и Н и квадратичные по Н члены; эти члены обычно играют меньшую роль и мы не будем их рассматривать. Мы не будем также обсуждать нелинейную зависимость магнитной индукции В от Н ввиду аналогии с вопросом о зависимости

Введем величину

(108,2)

которую естественно назвать нелинейной проницаемостью второго порядка (по аналогии с линейной проницаемостью ), определяемой выражением вида (77,5)). Она лишь множителем отличается от величин которые называют нелинейной восприимчивостью. Ввиду симметрии, с которой входят в определение (108,1), тензор симметричен по индексам при одновременной перестановке его аргументов: Поэтому такой же симметрией обладает и тензор

(108,3)

В частности, при , тензор симметричен по последней паре индексов:

Кроме того, в силу вещественности функций (в свою очередь следующей из определения (108,1) с вещественными Е и D) имеем

(108,5)

Проницаемость (108,2) естественно появляется при рассмотрении монохроматических полей или их суперпозиций. В нелинейных выражениях такие поля должны, конечно, быть представлены в вещественном виде. Так, если Е — монохроматическое поле с одной частотой , то надо писать и его подстановка в (108,1) приводит к выражению

(108,6)

Оно содержит колебания с удвоенной частотой (наряду с постоянным членом, отвечающим разности частот . В общем случае описывает вклад в индукцию, пропорциональный .

Мы будем рассматривать ниже лишь бездиссипативные среды и будем называть их прозрачными, хотя они и не являются таковыми в буквальном смысле (для волн заданной частоты) ввиду возможности перехода энергии в другие частоты. Будем также считать, что среда не обладает магнитной структурой.

Прежде всего покажем, что в таких условиях нелинейная проницаемость вещественна. Это можно было бы увидеть непосредственно, если выразить компоненты тензора нелинейной восприимчивости через матричные элементы электрического дипольного взаимодействия среды с полем, играющего роль малого возмущения; восприимчивость второго порядка появляется в третьем приближении теории возмущений. Но понять происхождение вещественности результата такого вычисления можно и без его фактического проведения. Действительно, полную систему волновых функций, по которым вычисляются матричные элементы, можно выбрать (для среды без магнитной структуры и потому инвариантной по отношению к обращению времени!) вещественной. Веществен также и оператор взаимодействия поля с электрическим дипольным моментом среды. Поэтому мнимые члены могли бы появиться лишь в результате обходов полюсов энергетических знаменателей теории возмущений. Но отсутствие диссипации в среде означает, что ни одна из частот поля не совпадает с разностью энергетических уровней системы (или же, что вычеты в полюсах равны нулю в силу тех или иных правил отбора); поэтому фактически обходить полюса не приходится.

Прозрачность среды приводит также к появлению определенных соотношений симметрии для тензора . И эти соотношения можно было бы усмотреть из конкретных выражений, полученных по теории возмущений. Но и здесь можно прийти к требуемому результату более простым путем.

Для этого предположим, что поле в среде есть сумма трех почти монохроматических полей с несоизмеримыми частотами

(108,7)

причем Будем считать, что поля на частотах были созданы внешними источниками, впоследствии выключенными; под влиянием же слабой нелинейности среды их амплитуды становятся медленно меняющимися функциями времени.

Эта медленность позволяет писать уравнения Маклвелла для полей каждой из основных частот в отдельности.

В свою очередь, из этих уравнений обычным образом следует закон сохранения энергии в виде

(и аналогично для величин с индексами 2 и 3); обозначает ту часть индукции D, которая содержит множители а черта усреднение по времени (нужное для дальнейшего). При интегрировании по всему объему поля член с дивергенцией исчезает и остается

Если теперь в явном виде выделить в линейные и нелинейные по Е члены,

то первые, вместе с дадут — изменение со временем энергии поля на частоте Это изменение, таким образом, определяется уравнением

Здесь производную следует выразить через напряженность поля с помощью (108,1-2). Усреднение по времени обращает в нуль все члены, кроме тех, в которых экспоненциальные множители взаимно сокращаются. Повторяя вычисления для остальных частот, находим окончательно:

(108,9)

где к. с. означает комплексно-сопряженное выражение. При вычислении использовано свойство (108,3).

Суммарное изменение энергии на всех трех частотах равно

(108-10)

В нелинейной среде эта сумма, вообще говоря, не должна точно обращаться в нуль ввиду возможности перехода энергии еще и в другие комбинационные частоты: и т. д. Но величина полей на частотах созданных внешними источниками, не имеет отношения к степени нелинейности; она не должна быть малой в противоположность полям на других частотах, появляющихся лишь в силу нелинейности среды.

Поэтому вклад последних в баланс энергии можно считать отсутствующим и потребовать обращения суммы (108,10) в нуль. Более того, поскольку такая среда представляет собой нелинейную систему всего с тремя частотами, можно применить к ней теорему Мэнли - Роу в ее простейшей форме (107,7). В используемых нами здесь обозначениях эти соотношения гласят:

Подставив сюда (108,9), найдем, что нелинейная проницаемость удовлетворяет следующим важным соотношениям симметрии

(108,11)

(J. A. Armstrong, N. Bloembergen, J. Ducuing, P. S. Pershan, 1962). Выражаемая этими равенствами симметрия становится более наглядной, если приписать компонентам тензора еще и третий аргумент так, чтобы сумма всех трех была равна нулю:

(последнее равенство - (108,3)). Если условиться связывать три последовательных аргумента (частоты) с тремя последовательными индексами тензора, то можно произвольным образом переставлять эти индексы при условии одновременной такой же перестановки аргументов.

Отметим, что само по себе требование отсутствия диссипации привело бы лишь к более слабому условию — равенству нулю суммы (108,10), т. е.

(108,12)

Изложенный вывод неприменим непосредственно при , поскольку соотношения Мэнли — Роу сводятся при этом к одному лишь сохранению полной энергии. Но о равенстве

(108,13)

можно заключить просто из соображений непрерывности при предельном переходе из (108,11).

Если обе частоты, стремятся к нулю, тензор оказывается полностью симметричным.

Эта симметрия выражает собой просто тот факт, что в статическом случае индукция может быть получена дифференцированием свободной энергии по Е:

так что

Отсюда следует симметричность тензора по индексам , а тем самым по всем трем индексам.

Если же равна нулю лишь одна из частот, то соотношения (108,11) приводят к равенству

(108,14)

а также

(108,15)

(в силу (108,5) вещественные функции четны по ). Тензор описывает линейный электрооптический эффект изменение проницаемости кристалла под влиянием постоянного электрического поля, и, следовательно, совпадает с определенным в (100,4) тензором :

как и должно быть, в силу (108,15) он симметричен по индексам Тензор же , описывает другой эффект — появление в среде статической диэлектрической поляризации, пропорциональной квадрату приложенного слабого переменного периодического поля (ср. второй член в (108,6)). Равенство (108,14) устанавливает, таким образом, связь между этими двумя эффектами.

Аналогичными соображениями, используя нелинейную восприимчивость, «перекрестную» между электрическими и магнитными величинами, можно было бы вновь прийти к связи между магнитооптическим эффектом Фарадея и намагничением среды вращающимся по направлению электрическим полем; это — связь, устанавливаемая формулами (101,15) и (101,25).

Как уже было указано, для сред, инвариантных относительно пространственной инверсии, нелинейность второго порядка отсутствует. В таких случаях нелинейные эффекты начинаются с кубических членов в разложении зависимости . Соответствующая нелинейная проницаемость третьего порядка есть тензор четвертого ранга, зависящий от трех независимых частот:

Его свойства симметрии полностью аналогичны свойствам тензора проницаемости второго порядка: если ввести еще и четвертую частоту

и записать тензор в виде

то можно любым образом переставлять индексы вместе с такой же перестановкой четырех аргументов.

Нелинейность третьего порядка может быть существенна даже при наличии квадратичной нелинейности ввиду специфичности вызываемых ею эффектов.