§ 72. Ударные волны

Перейдем к следующему типу разрывов, в котором

Эти разрывы, как и в обычной гидродинамике, называют ударными волнами. Они характеризуются наличием скачка плотности и тем, что газ движется сквозь них отличны от нуля). Что касается нормальной компоненты магнитного поля, то она, вообще говоря, отлична от нуля, но в частном случае может быть и .

Сравнив уравнения (70,4) и (70,5), мы видим, что (при векторы параллельны одному и тому же вектору и потому параллельны между собой. Отсюда в свою очередь следует коллинеарность , т. е. векторы и нормаль к поверхности разрыва лежат в одной плоскости в противоположность тангенциальным и альфвеновским разрывам, в которых плоскости вообще говоря, не совпадают. Этот результат справедлив и в случае когда из (70,5) следует, что (этот случай будет более подробно рассмотрен в конце параграфа).

Скачок расположен в той же плоскости, что и Не ограничивая общности, можно считать, что и сами векторы лежат в той же плоскости, так что движение в ударной волне является по своей природе плоским. Более того, легко видеть, что путем соответствующего преобразования системы координат можно (при ) добиться того, чтобы с обеих сторон поверхности разрыва векторы v и Н были коллинеарны. Для этого надо перейти к новой системе координат, движущейся относительно первоначальной со скоростью

(значения этой величины с обеих сторон разрыва одинаковы в силу граничного условия (70,5)). В следующих ниже формулах мы, однако, не будем предполагать этого специального выбора системы координат.

Выведем соотношение, играющее для ударных волн в магнитной гидродинамике роль адиабаты Гюгонио обычной гидродинамики. Исключив из двух уравнений (70,4-5), получим соотношение

мы пишем здесь вместо , имея уже в виду коллинеарность

Для того чтобы исключить из уравнения (70,2), переписываем его тождественно в следующем виде:

Третий член обращается в нуль в силу уравнения (70,4) и, таким образом, выпадает. В последнем члене подставляем из (72,2), а в первом — из (70,3), т. е.

После простых вычислений получим тогда окончательно

Это и есть искомое уравнение ударной адиабаты в магнитной гидродинамике. Оно отличается от обычного уравнения третьим членом.

Выпишем здесь еще раз также уравнение (70,4):

определяющее скачок по скачку . Уравнения (72,2-5) составляют полную систему уравнений, описывающих ударные волны. Ниже мы условимся приписывать индекс 1 той среде, в сторону которой волна распространяется; другими словами, сам газ проходит со стороны 1 перед ударной волной на сторону 2 позади нее. Напомним также, что мы условились пользоваться системой координат, в которой данный элемент поверхности разрыва покоится, а газ движется через него.

В обычной гидродинамике справедлива теорема Цемплена (см. VI § 84), согласно которой в ударной волне давление и плотность увеличиваются:

другими словами, ударная волна — волна сжатия. При этом предполагается, что

хотя это неравенство не термодинамическое, оно выполняется практически всегда.

Теорема Цемплена является следствием закона возрастания энтропии.

Легко видеть, что теорема Цемплена остается справедливой и в магнитной гидродинамике для ударных волн слабой интенсивности при одном только условии (72,7). В слабой ударной волне скачки всех величин малы. Разложив уравнение (72,4) по степеням скачков давления и энтропии, получим

первый член отвечает обычной гидродинамике (см. VI § 83). Поскольку — согласно одному из термодинамических неравенств, то согласно требованию из (72,8) следует неравенство и, соответственно,

Если помимо (72,7) положителен также и коэффициент теплового расширения, то теорему Цемплена в магнитной гидродинамике можно доказать сведением к доказательству в обычной гидродинамике, без предположения о малости скачков всех величин (Р. В. Половин, Г. Я. Любарский, 1958; С. В. Иорданский, 1958).

Пусть — заданное начальное состояние газа, и пусть -энтропия в конечном состоянии газа при заданном значении в отсутствие магнитного поля. Энтропию же в конечном состоянии газа при тех же значениях в присутствии магнитного поля обозначим как . В обычной гидродинамике из следует что означает невозможность волны разрежения. Покажем, что (в указанных выше условиях) так что тем более тем самым будет доказана невозможность волн разрежения и в магнитной гидродинамике.

Дифференцируем уравнение (72,4) по при постоянном . Используя равенство получим

где обозначено

Ввиду термодинамических соотношений

знак первого члена в (72,9) совпадает со знаком и, по предположению, положителен. Поэтому если то Наличие магнитного поля вызывает увеличение Q (без поля а с полем и, следовательно, уменьшение (при заданном ).

Поскольку, по предположению, то отсюда, в свою очередь, следует что и требовалось доказать.

Наконец, рассмотрим уже упомянутый в начале параграфа случай, когда магнитное поле с обеих сторон поверхности разрыва лежит в тангенциальной к ней плоскости (перпендикулярная ударная волна). Из (72,5) имеем в этом случае , т. е. тангенциальная составляющая скорости остается непрерывной. Соответствующим выбором системы координат можно поэтому всегда добиться, чтобы с обеих сторон разрыва было , т. е. газ двигался бы перпендикулярно к разрыву; будем считать это сделанным. Далее, из уравнения (72,2) имеем

Имея в виду это соотношение, легко убедиться в том, что уравнения (72,3-4) могут быть написаны в виде

отличающемся от обычных уравнений для ударных волн в отсутствие магнитного поля лишь изменением уравнения состояния; вместо истинного уравнения надо пользоваться уравнением , где

а буквой b обозначено постоянное произведение HV. Соответственно, должно быть определено так, чтобы выполнялось термодинамическое соотношение , откуда