Задачи

1. Диэлектрический шар равномерно вращается (в пустоте) в однородном постоянном магнитном поле . Определить возникающее вокруг шара электрическое поле.

Решение. При вычислении возникающего электрического поля магнитное поле надо принимать таким же, как при неподвижном шаре, так как учет обратного влияния изменения магнитного поля привел бы к поправкам более высокого порядка малости. Внутри шара магнитное поле однородно и равно

(ср. (8,2))

Ввиду стационарности вращения возникающее электрическое поле постоянно и, как всякое постоянное электрическое поле, обладает потенциалом: Вне шара потенциал удовлетворяет уравнению а внутри шара — уравнению

где — угловая скорость вращения (это уравнение получается из подстановкой для D выражения (76,10) с Условие непрерывности нормальной составляющей D на поверхности шара гласит:

(а — радиус шара, — единичный вектор в направлении ).

Ввиду симметрии шара искомое электрическое поле определяется всего двумя постоянными векторами: и . Из их компонент можно составить линейным по и образом скаляр и тензор

с равной нулю суммой диагональных членов. Соответственно этому ищем потенциал поля вне шара в виде

где — постоянный тензор (причем есть тензор квадрупольного электрического момента шара (см. II § 41). Члена же вида не может быть, так как он давал бы отличный от нуля полный поток электрического поля через поверхность, охватывающую шар (между тем как шар не заряжен). Потенциал поля внутри шара ищем в виде

Первый член есть решение однородного уравнения а выбор коэффициента в нем обеспечивает непрерывность потенциала (а тем самым и ) на поверхности шара. Подставляя (3) и (4) в (2), найдем

Таким образом, вокруг вращающегося шара возникает электрическое поле квадрупольного характера, причем квадрупольный момент шара дается формулой (5). В частности, если шар вращается вокруг направления внешнего поля (ось ), то имеет лишь диагональные компоненты

Аналогично, вокруг шара, вращающегося в однородном электрическом поле, возникает квадрупольное магнитное поле. Квадрупольный магнитный момент шара дается при этом формулой, получающейся из (5) изменением знака и заменой , соответственно на

2. Намагниченный шар равномерно вращается (в пустоте) вокруг своей оси, параллельной направлению намагничения. Определить возникающее вокруг шара электрическое поле.

Решение. Магнитное поле внутри шара однородно и выражается через постоянную намагниченность М согласно уравнениям , откуда

Вторая из формул (76,9) в данном случае не имеет места (ввиду несправедливости формулы для неподвижного ферромагнетика), а из первой имеем внутри шара

Потенциал возникающего электрического поля вне шара удовлетворяет уравнению а внутри шара

Граничное условие непрерывности на поверхности шара:

где — угол между нормалью и направлением Q и М (ось ). Ищем в виде

и из граничного условии получаем следующее выражение для квадрупольного электрического момента, возникающего у вращающегося шара:

( — полный магнитный момент шара). Для металлического шара надо положить тогда