§ 109. Самофокусировка

В этом параграфе будут рассмотрены оптические эффекты, связанные с нелинейным изменением поля на частоте первичной волны. Другими словами, рассматривается нелинейный вклад в D той же частоты , которую имеет монохроматическое поле Е. В квадратичных членах такой вклад отсутствует: они содержат только частоты и 0. Первый отличный от нуля эффект возникает от кубической нелинейности и содержится в членах вида ЕЕЕ (частота ).

Ниже в этом параграфе будем считать среду изотропной (жидкость или газ). Тогда интересующие нас члены третьего порядка в индукции имеют в общем случае вид

(109,1)

они содержат два независимых коэффициента; в прозрачной среде эти коэффициенты — вещественные четные функции частоты. Такое число независимых коэффициентов находится в соответствии со свойствами симметрии тензора . При указанных значениях аргументов этот тензор симметричен по парам индексов в изотропной среде такой тензор имеет две независимые компоненты. В пределе малых частот, как указано в предыдущем параграфе, тензор должен быть симметричен по всем индексам, т. е. в изотропной среде пропорционален комбинации

Это означает, что

(109,2)

Выражение (109,1) упрощается для линейно поляризованного поля Е. При такой поляризации комплексный вектор Е сводится к вещественному вектору, умноженному на общий фазовый множитель; тогда выражения совпадают и

(109,3)

Такое же упрощение возникает при круговой поляризации поля Е; в этом случае и (109,1) сводится к

(109,4)

В обоих случаях индукция поляризована так же, как и Е. В общем же случае эллиптической поляризации направления и отношения главных осей эллипсов Е и не совпадают. Связь

( - обычная, линейная проницаемость) должна быть подставлена в уравнения Максвелла, которые при этом следует записать (исключив из них магнитное поле Н) в виде

(109,5)

Существенно, что эта нелинейная система уравнений допускает точное решение в виде монохроматической плоской волны

(109,7)

с линейной или круговой поляризацией. Действительно, для таких волн , так что формулы (109,3) или (109,4) имеют тот же характер, что и в линейном случае с проницаемостью, зависящей от амплитуды поля; поэтому можно брать вещественную часть после решения уравнений. Связь D и Е в этих случаях будем записывать в виде

(109,8)

введя удобное для дальнейшего обозначение: для линейно поляризованной или для поляризованной по кругу волны.

Подстановка (109,8) в (109,6) дает divE = 0 — поле остается поперечным, как в линейной теории. С учетом этого подстановка (109,7) в (109,5) приводит к дисперсионному соотношению

(109,9)

Фазовая скорость оказывается зависящей теперь не только от частоты, но и от амплитуды волны. Если фазовая скорость убывает с увеличением амплитуды; такую среду называют фокусирующей (смысл этого названия выяснится ниже). Если же , то фазовая скорость растет при увеличении амплитуды, и среду называют дефокусирующей.

Использование нелинейной связи (109,1) предполагает, конечно, лишь слабую нелинейность члены более высоких порядков должны быть малы по сравнению с членами

При этом качественно новые явления могут возникнуть в результате «накопления» эффектов нелинейности за большие промежутки времени и на больших расстояниях. Естественной постановкой вопроса является при этом рассмотрение почти монохроматической волны вида

где — медленно меняющаяся функция времени и координат (мало ее относительное изменение на интервалах времени и расстояниях ). Входящие в фурье-разложение этого поля волновые векторы распределены в небольшом интервале значений вокруг вектора направленного вдоль оси его величину условимся считать связанной с равенством

(109,11)

отвечающим линейной теории. Выведем уравнение для функции .

Прежде всего замечаем, что в уравнении (109,5) в члене

можно пренебречь величиной . Действительно, в силу уравнения (109,6) дивергенция напряженности

т. е. отлична от нуля только за счет производных от медленно меняющейся функции и дополнительно мала в силу малости нелинейных членов; такими величинами мы пренебрегаем Таким образом, имеем

где (опущен член со второй производной не имеющий большого множителя поперечные же производные могут быть велики по сравнению с продольными).

Вычисление производится аналогично выводу формулы (80,10) и дает

где введена групповая скорость и по определению

В производной же от достаточно оставить член

пренебрегая здесь членом с малой производной .

Подставив полученные выражения в (109,5), получим окончательно следующее уравнение:

(109,13)

Комбинация производных в левой стороне равенства выражает собой тот факт, что возмущения амплитуды переносятся в направлении распространения волны с групповой скоростью.

С помощью этого уравнения можно исследовать устойчивость неограниченной плоской волны, описываемой точным решением (109,7-8) (В. И. Беспалов, В. И. Таланов, 1966). Мы увидим, что в фокусирующей среде волна оказывается неустойчивой. Согласно (109,9) в точном решении (109,7)

с из (109,11); в линейно поляризованной волне амплитуда может быть определена как вещественный вектор. Поэтому если записать волну (109,7) в виде (109,10), в последнем надо положить

Это выражение играет роль амплитуды невозмущенной волны. Мы будем рассматривать стационарную задачу о пространственном развитии возмущений вдоль направления распространения волны. Соответственно, амплитуду волны, подвергнутой малому возмущению, пишем как

(109,14)

Будем считать, что направлено вдоль

Подстановка (109,14) в (109,13) приводит к уравнению

(109,15)

Положим

(109,16)

где q — вектор в плоскости

Подставив это выражение в (109,15) и собрав по отдельности члены с получим два уравнения

Условие равенства нулю их определителя дает

При и

(109,17)

у мнимо, так что из (109,16) содержит экспоненциально возрастающий член, т. е. волна неустойчива. Отметим, что максимальный инкремент неустойчивости оказывается порядка величины нелинейной поправки к волновому вектору.

Одно из проявлений этой неустойчивости самофокусировка ограниченного по ширине светового пучка, распространяющегося в фокусирующей среде. Происхождение этого явления связано с тем, что если амплитуда поля убывает от оси пучка к его периферии, то зависящая от этой амплитуды диэлектрическая проницаемость вреды тоже убывает (при в том же направлении и среда ведет себя как фокусирующая линза (Г. А. Аскарьян, 1962). Поведение пучка определяется, игрой двух противоположных тенденций — такой фокусировкой и расширением пучка из-за дифракции.

Покажем, прежде всего, что эти тенденции могут взаимно компенсироваться в том смысле, что уравнение (109,13) допускает (при ) решение в виде стационарного нерасширяющегося пучка. Такое самоканалирование специфический нелинейный эффект. В линейной теории всякий ограниченный по сечению пучок расходится из-за дифракции. Мы ограничимся одномерным случаем, когда поле Е зависит только от одной поперечной координаты у, будучи поляризовано вдоль оси ; волна распространяется вдоль оси . В этом случае можно получить аналитическое решение задачи (В. И. Таланов, 1965). При этом мы отвлекаемся от того обстоятельства, что пучок бесконечной (в направлении оси ) ширины заведомо неустойчив, поскольку в нем возможны возмущения с малыми значениями неустойчивые согласно (109,17).

Положим

(109,18)

с малой величиной играющей роль поправки к волновому вектору ; функция вещественна.

Подстановка в (109,13) дает для этой функции уравнение

(109,19)

Оно имеет первый интеграл

Нас интересует решение, в котором F и стремятся к нулю при . Соответственно этому полагаем , после чего простое интегрирование дает

(начало отсчета у выбрано в центре пучка). Ширина пучка по оси у.

Поскольку протекающий по пучку поток энергии то пропорционально — пучок тем уже, чем больше переносимая им мощность.

Такой самоканалированный пучок представляет особый случай, когда фокусирующие свойства среды точно компенсируются дифракцией. Другие пучки будут либо расходиться, либо сходиться. Напишем, прежде всего, качественный критерий самофокусировки для реального пучка ограниченного сечения (R. Y. Chiao, Е. Garmire, С. Н. Townes, 1964). Это можно сразу сделать исходя из условия неустойчивости (109,17). В пучке с характерным радиусом R возможны возмущения с поперечными к оси пучка длинами волн, меньшими R, т. е. с . Условие же (109,17) определяет верхнюю границу значений q, приводящих к неустойчивости. Поэтому пучок будет неустойчив относительно фокусировки при

(109,21)

Переносимая вдоль пучка мощность определяется произведением . Отметим, что критическое значение этой мощности, за которым начинается самофокусировка, не зависит от площади сечения пучка.

Оказывается возможным также установить точный (не по порядку величины) достаточный критерий самофокусировки пучка (С. Н. Власов, В. А. Петрищев, В. И. Таланов, 1971).

Для стационарного линейно поляризованного светового пучка, но без предварительных предположений о характере зависимости от уравнение для функции имеет вид

(109,22)

( — двумерный радиус-вектор в плоскости в этой же плоскости действуют дифференциальные операторы ).

Легко проверить, что из этого уравнения следует равенство

где

Отсюда, в свою очередь, следует «сохранение» (т. е. независимость от ) интеграла

(109,24)

Сохраняется также и интеграл

в чем легко убедиться прямым дифференцированием по с использованием уравнения (109,22). Предполагается, конечно, что достаточно быстро убывает при так что оба интеграла (равно как и интеграл (109,26) ниже) сходятся.

Покажем, что поведение пучка определяется знаком интеграла при пучок в среднем расходится, а при — фокусируется. Доказательство основано на простом уравнении, которое можно получить для среднего радиуса пучка , определенного согласно

(109,26)

Для вывода этого уравнения пишем, используя (109,23):

Дифференцируя еще раз по подставив из (109,22) и интегрируя два раза по частям, получим в результате уравнение

Отсюда

(109,27)

где — постоянные. Мы видим, что при на конечном расстоянии вдоль направления распространения достигается полная фокусировка пучка его радиус R обращается в нуль .

Этот результат, полученный в рамках приближенного уравнения (109,13), не может иметь буквального физического смысла вблизи самого фокуса, где нарушаются предположения, сделанные при выводе уравнения. Достаточно сказать, что при неограниченном увеличении плотности энергии поля при точной фокусировке уже нет оснований ограничиваться низшей степенью нелинейности — кубической. Но существенна уже самая возможность самофокусировки пучка до такой степени, когда нелинейность перестает быть малой. Подчеркнем, что установленный критерий носит достаточный, по не необходимый характер. Пучок с заведомо фокусируется целиком, но расходимость пучка в среднем при не противоречит тому, что некоторая внутренняя его часть сфокусируется.