1-8. Метод контурных токов

Для расчета режима сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением лишь независимых уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа, воспользовавшись методом контурных токов; здесь в — число ветвей и у - число узлов. При этом закон Кирхгофа, конечно, всегда удовлетворяется.

Для иллюстрации применения метода контурных токов рассмотрим схему на рис. 1-27, а с шестью ветвями и четырьмя узлами. Прежде чем составлять уравнения по второму закону Кирхгофа, надо выбрать взаимно независимые контуры так, чтобы одна из ветвей каждого контура входила только в этот контур. Например, в схеме рис. 1-27, а первая, вторая и третья ветви входят соответственно только в контуры 1-2-4-1, 2-3-4-2 и 1-4-3-1.

Для правильного выбора независимых контуров введем еще дополнительные понятия.

Рис. 1-27.

Деревом графа (схемы) называется совокупность ветвей, соединяющих все узлы, но не образующих ни одного контура. Между любыми двумя узлами дерева существует только один путь графа — непрерывная последовательность ветвей между заданными двумя узлами при условии, что каждый узел встречается не более одного раза. Наличие хотя бы двух разных путей между двумя узлами дерева, очевидно, приводит к образованию контура. Если число узлов схемы и ее графа у, то число ветвей дерева равно , так как из у ветвей можно всегда составить контур. Ветвью связи (связью, главной ветвью или дополнением дерева) называется любая ветвь, не входящая в состав дерева. В дальнейшем будем пользоваться преимущественно термином «ветвь связи». Все ветви схемы, не входящие в состав дерева и называемые ветвями связи, дополняют соответствующее дерево до полной схемы.

Взаимно независимые контуры получатся, если в каждый кон тур войдет одна ветвь связи, действительный ток которой буде равен соответствующему контурному току. Ветви с идеальными источниками э. д. с. и без сопротивлений обычно включают в соствав дерева, а ветви с источниками тока относят к ветвям связи. Ветви с идеальными источниками э. д. с. и сопротивлениями (соединен ными между собой последовательно) могут входить как в соета! ветвей дерева, так и в состав ветвей связи. Например, для схемь рис. 1-27, а ветви с токами соединяющие узлы 1, 2, 3, 4 выбраны в качестве ветвей дерева; тогда ветви с токами будут ветвями связи. На рис. 1-27, б элементы ветвей дерева изображены сплошными линиями, а элементы ветвей связи — пунктирными. Из приведенной схемы видно, что при выбранном дереве токи в ветвях связи совпадающие с контурными токами равны действительным токам этих ветвей. Это правило распространяется на любую схему.

Для схемы рис. 1-27, а по первому закону Кирхгофа

На основании второго закона Кирхгофа

Пользуясь уравнениями (1-51), исключим из уравнений (1-52) токи всех ветвей дерева, общих для нескольких контуров; в результате получим:

В соответствии с уравнениями (1-53) можно принять, что каждый из токов замыкается через соответствующую ветвь связи в одном из контуров (рис. 1-27, а и б) и назвать такие токи контурными. Напряжения на сопротивлениях любого контура равны алгебраической сумме напряжений, обусловленных токами своего и смежных контуров. Например, в контуре из сопротивлений разность равняется сумме трех напряжений: от собственного контурного тока на всех сопротивлениях этого контура и от токов соответственно на сопротивлениях Действительные токи в ветвях дерева, общих для нескольких контуров, равны алгебраическим суммам контурных токов:

Для этой же схемы можно получить и другие взаимно независимые уравнения. Например, выберем другое дерево из первой, пятой и шестой ветвей (рис. 1-27, в); тогда вторая, третья и четвертая ветви будут ветвями связи, действительные токи в которых совпадают с контурными. Применив в этом случае второй закон Кирхгофа для контуров 2-3-4-2, 3-1-2-4-3 и 2-4-1-2, получим уравнения с контурными токами замыкающимися через ветви деревьев по ветвям связи. Токи в ветвях дерева однозначно определяются через токи ветвей связи (совпадающие с контурными) по формулам

Выражение для тока получено по первому закону Кирхгофа для действительных токов, примененному к поверхности след которой показан на рис. 1-27, в пунктиром.

Таким образом, система взаимно независимых уравнений определяется структурой выбранного дерева и соответствующими ветвями связи.

Ниже будет показано, что мостовая схема рис. 1-27, а имеет 16 деревьев; поэтому для такой схемы можно написать 16 систем независимых уравнений, каждая из которых содержит в качестве неизвестных три тока, замыкающиеся по ветвям связи через ветви выбранного дерева.

Из приведенных примеров следует, что для определения токов в ветвях этим методом нужно ввести в расчет контурные токи и решить совместно систему уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа; число этих уравнений меньше числа неизвестных токов ветвей на число узлов схемы без одного (у — 1). При замене токов в ветвях контурными токами первый закон Кирхгофа всегда удовлетворяется, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой — от того же узла. Например, для узла 4 (рис. 1-27, а) по первому закону Кирхгофа для токов ветвей получим:

или для контурных токов

Если схема содержит не только источники э. д. с., но и источники тока, то можно принять ток каждого из источников тока замыкающимся по любым ветвям дерева, составляющим с ветвью источника тока — ветвью связи замкнутый контур. Падение напряжения, вызванное током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитывается при записи левой части уравнений по второму закону Кирхгофа. Однако эти напряжения можно также учесть с обратным знаком в правой части уравнений.

В качестве примера рассмотрим схему на рис. 1-21. На основании второго закона Кирхгофа

Пользуясь первым законом Кирхгофа, исключим из этих уравнений токи в результате после группировки слагаемых получим:

Из этих уравнений следует, что в рассматриваемом случае ток J как бы замыкается по ветвям с сопротивлениями дополняющими ветвь с источником тока J до замкнутого контура.

Рис. 1-28.

Обозначив в уравнениях (1-56) составляющие напряжений соответственно через можно переписать их иначе:

Здесь следует отметить, что перенос слагаемых из левой в правую часть уравнений (1-57) и замена напряжений на схеме иллюстрирует применение так называемой теоремы о компенсации, изложенной более подробно в § 2-6.

Уравнениям (1-57) соответствует эквивалентная схема (рис. 1-28, а), на которой источник тока J заменен источниками при этом токи в ветвях с сопротивлениями и f не равны соответствующим токам в ветвях заданной

схемы (рис. 1-21) и отличаются от них на ток J источника тока. Иначе говоря, после определения контурных токов необходимо для вычисления токов в ветвях заданной схемы (рис. 1-21) записать уравнения по первому закону Кирхгофа именно для заданной схемы:

Аналогично можно показать, что если принять ток J замыкающимся по ветви с сопротивлением то получится новая эквивалентная схема (рис. 1-28, б); контурный ток в эквивалентной схеме не равен действительному току в заданной схеме (рис. 1-21) и отличается от него на ток

Замена источника тока J двумя эквивалентными источниками напряжения (рис. 1-28, а) основана на предварительном преобразовании одного источника тока, включенного к узлам 1 и 4 (рис. 1-21) двумя источниками тока, включенными к узлам 1 и 3, 3 и 4.

Рис. 1-29.

Покажем справедливость такого преобразования для более общего случая.

На рис. 1-29, а изображена часть разветвленной схемы с одним источником тока J, присоединенным к узлам 1 и 4. Режим в этой схеме, очевидно, не изменится, если вместо одного источника тока J, присоединенного к зажимам 1 и 4, включить три источника тока соответственно к узлам 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, поскольку токи в ветвях присоединения к узлам 2 и 2, 3 и 3 равны нулю (рис. 1-29, б). Переход от схемы рис. 1-29, б к эквивалентной схеме рис. 1-29, в, где уже не требует особых пояснений.

Таким образом, применяя метод контурных токов для расчета режима цепи, можно предварительно заменить источники тока

эквивалентными источниками э. д. с., а затем ввести контурные токи и на основании второго закона Кирхгофа составить систему уравнений для их определения. Действительные токи в ветвях без эквивалентных источников э. д. с., заменяющих источники тока, определяются по первому закону Кирхгофа суммированием контурных токов; в ветвях заданной схемы, в которых на эквивалентной схеме включены источники э. д. с., учитываются и токи источников тока.

При расчете электрических цепей изложенным методом всегда стремятся к тому, чтобы число контурных токов, замыкающихся через каждую из ветвей, было по возможности минимальным. С этой целью обычно выбирают каждый контур в виде ячейки (на рис. 1-27, а три ячейки с контурными токами ), руководствуясь указанным выше правилом выбора независимых контуров (дерева и ветвей связи) при составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа.

Положительные направления контурных токов можно выбирать и произвольно, т. е. независимо от положительных направлений токов в ветвях.

Установим теперь более общие, необходимые для дальнейших выводов соотношения между контурными токами, сопротивлениями и э. д. с. цепи произвольной конфигурации. Для схемы, имеющей к независимых контуров, уравнения, аналогичные (1-53), запишутся в виде

В этих уравнениях сопротивление вида (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлением контура а сопротивление вида — (с двумя различными индексами) называется общим сопротивлением контуров Правые части уравнений (1-58) называются контурными э. д. с. Каждая из контурных э. д. с. вида равна алгебраической сумме э. д. с. всех источников в ветвях контура Положительные знаки в каждом уравнении (1-58) должны быть взяты для токов и э. д. с., положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.

В более общем случае, огда электрическая цепь содержит как источники э. д. с., так и источники тока, контурное уравнение для контура записывается в виде

где обозначает собственное сопротивление контура — общее сопротивление двух контуров

— ток источника тока, замыкающийся по сопротивлению

Решая систему уравнений (1-58) при помощи определителей относительно любого из токов, например получаем:

где — определитель системы уравнений (1-58), т. е.

— алгебраические дополнения определителя причем получается из путем вычеркивания столбца и строки и умножения полученного определителя на Необходимо отметить, что сопротивления вида нужно записывать в выражении (1-60) с тем знаком, который стоит перед соответствующим напряжением в уравнениях (1-58).

Подчеркнем, что при соответствующем выборе контуров получится такая система контурных уравнений, определитель которой имеет аналогично определителю минимальное число слагаемых с отрицательными знаками (которые сокращаются с соответствующими положительными членами).

Для иллюстрации отмеченных положений рассмотрим схему на рис. 1-27, а, для которой справедлива, например, следующая система уравнений:

где последнее уравнение получено простым суммированием первых трех; оно справедливо для внешнего контура, проходящего через ветви связи с сопротивлениями Совместное решение любых трех уравнений системы (1-61) определяет неизвестные контурные токи

Покажем, что система из первых трех уравнений дает определитель с большим числом слагаемых (до сокращения), чем система, например, из первых двух и четвертого уравнений. Для первых трех уравнений определитель

Этот определитель после раскрытия имеет 38 слагаемых (до сокращения), из которых 22 попарно равны по абсолютному значению, но по знаку противоположны и сокращаются.

Для первых двух и четвертого уравнений определитель

В этом определителе только два слагаемых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку и сокращаются.

Для решения общей задачи расчета неизвестных токов во всех ветвях линейной электрической цепи можно выбрать один из двух основных методов расчета: узловых потенциалов или контурных токов.

Методом узловых потенциалов целесообразно пользоваться, когда число узлов схемы, уменьшенное на единицу, меньше числа независимых контуров , а методом контурных токов при

Матричные уравнения контурных токов. Уравнения контурных токов (1-58) с учетом (1-58а) можно записать в матричной форме:

где — квадратная матрица контурных сопротивлений;

— матрица-столбец контурных токов;

— матрица-столбец контурных э. д. с., учитывающая источники э. д. с. и эквивалентные э. д. с. от источников тока.

После умножения уравнения (1-64) слева на получим:

Покажем, что матрицу контурных сопротивлений можно получить непосредственно по схеме при помощи матрицы соединения контурных сопротивлений В:

где диагональная матрица сопротивлений ветвей;

— транспонированная матрица соединения контурных сопротивлений.

Матрица соединения контурных сопротивлений В составляется так, что ее строки соответствуют независимым контурам, а столбцы — ветвям. На пересечении строки и столбца записывается ±1 или 0 пробел) в зависимости от того, входит или не входит данная ветвь в соответствующий контур; положительный знак принимается в том случае, если направление ветви совпадает с направлением обхода контура, а отрицательный знак — если не совпадает. При этом направление обхода каждого контура примем совпадающим с положительным направлением соответствующего контурного тока, а направления ветвей — с положительными направлениями токов в ветвях.

Для получения независимых контуров следует сначала выбрать дерево схемы, что в свою очередь определяет вётви связи, а следовательно, и контурные токи.

Для иллюстрации рассмотрим схему на рис. 1-27, а с выбранным деревом из четвертой, пятой и шестой ветвей (рис. 1-27, б). В этом случае независимые контуры содержат контурные токи что соответствует первой, второй и третьей ветвям связи.

Матрица соединения контурных сопротивлений В состоит из грех строк и шести столбцов:

Диагональная матрица сопротивлений

Произведение матриц В и равно:

Квадратная матрица контурных сопротивлений определяется по формуле (1-66):

Матрица-столбец контурных токов

Матрица-столбец контурных э. д. с.

Пользуясь уравнением (1-64), матрицами , легко получить уравнения (1-53).

Подчеркнем, что матрица токов ветвей легко определяется через матрицу контурных токов по формуле

Например, для схемы рис. 1-27, а

Из этого матричного уравнения сразу получаем равенства, определяющие токи ветвей через контурные токи:

В дальнейшем индексы в у токов ветвей и индексы k у контурных токов в алгебраических выражениях, как правило, будем опускать,

В заключение подчеркнем, что все соотношения между токами ветвей и контурными токами для схем, показанных на рис. 1-27, а-в, легко получить из графов, построенных соответственно для этих схем на рис. 1-30, а-в.

Рис. 1-30.

При этом деревья графа изображены на рис. 1-30, б и в сплошными линиями, а ветви связи — пунктирными.