1-10. Преобразование линейных электрических схем

Расчет и исследование сложных электрических цепей во многих случаях можно значительно облегчить и сделать более наглядными путем преобразования электрических схем одного видя в схемы другого вида. Целесообразное преобразование

электрической схемы приводит к уменьшению числа ее ветвей или узлов, а следовательно, и числа уравнений, определяющих ее электрическое состояние.

Рассмотрим, например, схему трехпроводной линии (рис. 1-31, а). Пусть заданы и внутренние сопротивления источников энергии, сопротивления проводов линии , и сопротивления приемников

Для определения токов в шести ветвях этой схемы необходимо по методу контурных токов или узловых потенциалов решить систему уравнений с тремя неизвестными.

Однако можно упростить схему, например, так, чтобы она содержала только три ветви с тремя неизвестными токами и всего два узла.

Рис. 1-31

Новая схема получится, если три сопротивления присоединенные к узлам 1, 2 и 3, заменить тремя другими сопротивлениями (рис. 1-31, б), включенными соответственно между точками 1, 2 и 3 заданной схемы и новой узловой точкой О. После такой замены токи в ветвях, не затронутых преобразованием, и напряжения между точками 1, 2 и 3 должны быть такими же, как в заданной схеме.

В новой, эквивалентной схеме с двумя узлами О и О можно сразу найти напряжение между узловыми точками по формуле (1-46), а затем определить токи по закону Ома. После этого можно вычислить напряжения между точками 1, 2 и 3 и токи в сопротивлениях заданной схемы, т. е. решить задачу достаточно просто.

Во всех случаях замены заданных электрических схем эквивалентными схемами другого вида необходимо выполнять условия неизменности токов и напряжений в тех частях схемы, которые не затронуты преобразованиями.

Если преобразуется часть электрической схемы, не содержащая источников энергин, то как будет видно из дальнейшего, неизменность

токов и напряжений в остальной части схемы обеспечивает и неизменность мощностей, потребляемых ветвями. В случае преобразования электрических схем, содержащих источники энергии, суммарные мощности источников и приемников в исходной схеме не равны в общем случае соответствующим мощностям в эквивалентной схеме.

Рассмотрим теперь наиболее характерные, чаще всего встречающиеся на практике случаи преобразования электрических схем как при отсутствии в преобразуемых ветвях источников э. д. с. и тока, так и при их наличии.

Рис. 1-32.

Преобразование соединения сопротивлений многолучевой звездой в многоугольник; преобразование треугольника в звезду. Рассмотрим сначала преобразование соединения сопротивлений многолучевой звездой (с числом лучей больше трех) в эквивалентный многоугольник. Покажем, что соединение сопротивлений -лучевой звездой преобразуется в эквивалентную схему многоугольника с числом ветвей, равным

На рис. 1-32, а изображено соединение сопротивлений в виде -лучевой звезды. Уравнения электрического состояния для этой схемы:

где — потенциалы соответствующих точек схемы.

Из последнего уравнения найдем потенциал точки О:

После подстановки в первое из выражений (1-75) получим:

где

В полученном выражении разности потенциалов между точками , заменим через напряжения по формуле

Аналогично для любого тока

Из этих уравнений видно, что ток каждой ветви -лучевой звезды можно представить в виде суммы частичных токов, пропорциональных напряжениям между соответствующими точками звезды. Например, ток

где

и аналогично для любой ветви

Покажем, что выражениям (1-78) удовлетворяет эквивалентная схема в виде полного многоугольника (рис. 1-32, б) с числом ветвей, равным .

Действительно, для схемы рис. 1-32, б

Для того чтобы схема, показанная на рис. 1-32, б, была эквивалентна схеме рис. 1-32, а, необходимо равенство токов ( и т. д.) в обеих схемах при одинаковых напряжениях ( и т. д.), что выполняется при

Поскольку число узлов многоугольника равно , число токов, связанных с каждым узлом, равно и каждая ветвь присоединена к двум узлам многоугольника, то число его ветвей как раз равно

Из приведенного доказательства следует, что простая математическая операция исключения потенциала из системы уравнений электрического состояния схемы, имеющей форму -лучевой звезды, приводит к эквивалентной схеме в виде многоугольника. Обратная задача о преобразовании многоугольника в эквивалентную -лучевую звезду в общем случае при неразрешима, так как число искомых сопротивлений (или проводимостей) ветвей эквивалентной звезды меньше числа условий, которым они должны удовлетворять. При число условий и, следовательно, треугольник сопротивлений всегда можно преобразовать в эквивалентную звезду.

Из формул (1-80) при сразу получаются формулы для преобразования трехлучевой звезды в эквивалентный треугольник в следующем виде:

для эквивалентных проводимостей

или для эквивалентных сопротивлений

Чтобы получить формулы преобразования треугольника с заданными сопротивлениями в эквивалентную звезду, примем в уравнениях (1-82) в качестве неизвестных сопротивления . В результате получим:

где .

Выразив попарные произведения искомых сопротивлений в виде

и подставив полученные выражения в формулу для b, имеем:

откуда

После подстановки этого выражения в (1-83) получим:

где

Последние формулы позволяют определить эквивалентные сопротивления звезды по заданным сопротивлениям треугольника.

Аналогично можно получить формулы преобразования активной многолучевой звезды (рис. 1-33, а) в эквивалентный активный многоугольник (рис. 1-33, б).

Рис. 1-33.

Действительно, в этом случае для схемы, показанной на рис. 1-33, а, можно записать:

Выразив из последнего уравнения и подставив его, например, в первое из выражений (1-85), после элементарных преобразований получим:

    (1-86)

Аналогичные уравнения можно получить для токов Выражениям вида (1-86) соответствует эквивалентная схема, показанная на рис. 1-33, б. Проводимости ветвей многоугольника определяются по-прежнему по формулам (1-80), а эквивалентные э. д. с. при указанных положительных направлениях (рис. 1-33, а и б) Равны:

Преобразование параллельного соединения ветвей с источниками э. д. с. и источниками тока. Если сложная электрическая схема имеет одну или несколько групп параллельно соединенных ветвей с источниками э. д. с., то расчет и исследование такой схемы можно значительно облегчить, заменив каждую группу параллельных ветвей одним источником с эквивалентной э. д. с. и эквивалентным внутренним сопротивлением. В частности, так можно преобразовать схемы со смешанным соединением активных и пассивных элементов в схемы с последовательным соединением.

На рис. 1-34, а показана группа из параллельно соединенных ветвей, выделенная в электрической схеме. Остальная часть схемы условно обозначена прямоугольником. Требуется заменить параллельных ветвей (рис. 1-34, а) одной эквивалентной ветвью (рис. 1-34, б) так, чтобы ток и напряжение U в эквивалентной схеме, а значит все токи и напряжения в остальной части схемы были такими -как в заданной.

Рис. 1-34.

Согласно (1-12) для токов ветвей и суммарного тока схемы рис. 1-34, а справедливо следующее выражение:

где

В схеме рис. 1-34, б ток

где

Так как условия эквивалентности должны быгь выполнены при любых токе и напряжении U, то, приравнивая правые части выражений (1-88) и (1-89), нужно положить:

откуда

При вычислении эквивалентной э. д. с. Е с положительным знаком записываются те э. д. с. E, которые направлены к тому же узлу, что и эквивалентная э. д. с. Е, и с отрицательным знаком — направленные к другому узлу. Если какая-либо из параллельных ветвей, например третья, не содержит источника э. д. с. Е, то в выражении (1-91) слагаемого не будет, но в состав проводимости g входит проводимость этой ветви

Из выражения (1-90) следует, что эквивалентная проводимость g не зависит от э. д. с., в то время как эквивалентная э. д. с. Е (1-91) зависит не только от э. д. с. ветвей, но и от их проводимостей.

Выше было отмечено, что энергия, потребляемая сопротивлениями ветвей до преобразования схемы с активными элементами, не равна энергии, потребляемой эквивалентными сопротивлениями ветвей после преобразования.

Для иллюстрации этого положения сравним, например, мощности источников и потребителей заданной схемы (рис. 1-34, а) и схемы после преобразования (рис. 1-34, б), когда ветвь с током I разомкнута. В схеме рис. 1-34, а при токи могут и не быть равными нулю. В результате суммарная энергия источников э. д. с. будет расходоваться на покрытие тепловых потерь в сопротивлениях ветвей. В схеме рис. 1-34, б при потери в эквивалентном сопротивлении отсутствуют.

Следовательно, несмотря на неизменность токов и напряжений в той части схемы, которая не затронута преобразованием, мощность, развиваемая источниками э. д. с. до преобразования, не равна мощности, развиваемой эквивалентным источником э. д. с. после преобразования схемы.

Однако это обстоятельство не мешает широко пользоваться понятием эквивалентной э. д. с. для расчета электрических цепей, так как после определения тока в эквивалентной схеме можно вернуться к исходной и найти токи и мощности во всех ее ветвях.

Если к узлам 1 и 2 (рис. 1-34, а) присоединены кроме ветвей с источниками э. д. с. еще ветвей с источниками тока, то при вычислении эквивалентной э. д. с. (1-91) нужно учесть токи заданных источников тока:

причем с положительным знаком берутся токи, направленные к тому узлу, что и эквивалентная э. д. с. Е, а с отрицательным знаком — направленные к другому узлу.

Преобразование схемы с источниками э. д. с. в эквивалентную схему с узловыми токами (источниками тока). Выше (§ 1-2) было показано, что источник энергии с известным значением э. д. с. и заданным внутренним сопротивлением можно представить источником тока, причем режим приемника энергии останется неизменным. Такую замену можно произвести и в том случае, когда ветвь с источником э. д. с. и внутренним сопротивлением имеет добавочное сопротивление, включенное последовательно с внутренним сопротивлением.

Пусть к зажимам 1 и 2 (рис. 1-35, а) присоединена ветвь с источником э. д. с. Е и сопротивлением , которое включает и внутреннее сопротивление источника энергии.

Рис. 1-35.

Если напряжение между первым и вторым зажимами равняется U, то по (1-11) ток

Из этого выражения следует, что ток I источника э. д. с. может быть представлен в виде разности тока J источника тока, который определяется только параметрами ветви с источником э. д. с., и тока . Уравнению (1-93) соответствует эквивалентная схема, показанная на рис. 1-35, б, в которой напряжение U и ток те же, что и в схеме на рис. 1-35, а. Ток J источника тока направлен так же, как э. д. с. Е (от зажима 2 к зажиму ).

Такую замену можно провести в схеме как для одного, так и для всех или части источников э. д. с.

Рассмотрим, например, схему, показанную на рис. 1-36, а, с источниками э. д. с. в трех ветвях. Эквивалентная схема с источниками тока приведена на рис. 1-36, б, где

На схеме рис. 1-36, б ветви с источниками тока присоединены попарно к одним и тем же узлам и 3, Поэтому целесообразно объединить в каждом узле два тока источников в один (рис. 1-36, в). Суммарные или узловые токи определяются по первому закону Кирхгофа:

Следовательно, электрическая схема с источниками э. д. с. в ветвях может, быть заменена эквивалентной схемой с узловыми токами, причем потенциалы узлов и токи в непреобразованных ветвях остаются неизменными. Так, токи заданной схемы

(рис. 1-36, а) равны токам в тех же ветвях эквивалентной схемы (рис. 1-36, б или в). Но, конечно, токи в преобразуемых ветвях с источниками э. д. с. не равны соответствующим токам в ветвях эквивалентной схемы. Например, в сопротивлении заданной схемы (рис. 1-36, а) ток а в эквивалентной схеме (рис. 1-36, в) ток

В общем случае справедливость преобразования схемы с источниками э. д. с. в ветвях в эквивалентную схему с узловыми токами непосредственно следует из уравнений узловых потенциалов (§ 1-7)

Рис. 1-36.

Действительно, для схемы рис. 1-36, а на основании уравнений (1-33) при получим:

где Этим уравнениям удовлетворяет эквивалентная схема (Рис. 1-36, в).

Обратная замена электрической схемы с заданными узловыми токами эквивалентной схемой с источниками э. д. с. не является

однозначной. Это объясняется тем, что число узловых токов или число узлов всегда меньше числа ветвей, т. е. количество уравнений, которое можно составить на основании первого закона Кирхгофа, меньше числа искомых э. д. с. Поэтому можно задаться произвольными значениями э. д. с. источников в любых ветвях в количестве, равном числу недостающих уравнений. Остальные неизвестные э. д. с. могут быть определены после совместного решения независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа.

Пример 1-4. Определить токи во всех ветвях и составить уравнения баланса мощностей для схемы рис 1-37, а, если Ом.

Рис. 1-37.

Решение Для определения токов (эти токи одинаковы) заменим каждую группу параллельно соединенных ветвей одной эквивалентной Эквивалентную для первой и второй параллельных ветвей и эквивалентное сопротивление определим по формулам (1-91) и (1-90):

Аналогично находим эквивалентное сопротивление и эквивалентную э. д. с. для трех параллельных ветвей, присоединенных к третьему и четвертому узлам:

В результате таких преобразований получается схема, показанная на рис 1-37, б.

В этой схеме ток

и напряжения на участках

Токи в ветвях заданной схемы

Токи в ветвях с одинаковыми э. д. с. Е равны друг другу и направлены навстречу э. д. с.:

Суммарная мощность всех источников э. д. с.

Мощность в сопротивлениях, конечно, равна суммарной мощности источников э. д. с.:

Отметим, что источники с э. д. с. Е работают в режиме приемников, потребляя энергию от других источников.