13-14. Общий случай расчета переходных процессов классическим методом

Рассмотрим общую методику расчета переходного процесса на примере разветвленной цепи, в состав которой входят хотя бы по одному разу элементы r, С и источники постоянной или гармонической

э. д. с. или тока (рис. 13-25), Рассчитаем токи во всех ветвях и напряжения на всех ее элементах в переходном процессе при включении рубильника

Для этого прежде всего определим принужденные токи и напряжения до и после коммутации.

Поскольку э. д. с. или токи источников предполагаются постоянными или гармоническими, расчет принужденных режимов до и после коммутации выполним одним из известных методов.

Рис. 13-25.

Определение свободных токов и напряжений начнем с составления характеристического уравнения.

Для этой цели (разумеется, при замкнутом рубильнике ) воспользуемся, например, методом контурных токов применительно к мгновенным значениям свободных составляющих:

Введем обозначения — сопротивления, индуктивности и емкости каждого из контуров: — общее сопротивление двух соседних контуров.

С учетом этих обозначений последние уравнения примут вид:

    (13-656)

Решение системы уравнений (13-65а) и (13-656) для любого из токов или представляется в общем случае в виде суммы экспоненциальных функций, каждая пара которых, имеющая одинаковые показатели, должна удовлетворять этим уравнениям. Поэтому дальнейшие рассуждения проведем для любой из пар:

Тогда

Подставляя значения производных и интегралов токов в уравнение (13-65), получаем:

    (13-66а)

Дифференциальные уравнения (13-65а) и (13-656) относительно функций превратились в алгебраические [(13-66 а) и (13-66 б)] относительно этих же функций. Такое преобразование называется алгебраизацией системы дифференциальных уравнений.

Полученная система двух однородных уравнений (13-66) с двумя неизвестными имеет решение, отличное от нулевого, если определитель системы равен нулю:

    (13-67а)

(нулевое решение означает отсутствие свободного процесса, что возможно в частном случае и притом только в цепях, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка).

Из (13-67а) следует, что является корнем уравнения Само же уравнение

    (13-67б)

представляет собой характеристическое уравнение для данной системы дифференциальных уравнений. В рассматриваемом примере получаем характеристическое уравнение третьей степени.

Решение уравнения (точное или приближенное) производится по обычным правилам алгебры. Поэтому его корни в дальнейшем будем считать известными.

Выбор контуров при расчете методом контурных токов здесь целесообразно делать так, чтобы для каждого из контуров порядок дифференциального уравнения был наименьшим В качестве таких контуров нужно выбирать по возможности контуры, содержащие только сопротивления, только индуктивности, только емкости, только сопротивления и индуктивности или только сопротивления и емкости В самом деле, уравнение второго закона Кирхгофа для свободных токов в контуре с одними сопротивлениями является алгебраическим Для контура с одними индуктивностями оно хотя и дифференциальное, но интегрированием легко приводится к алгебраическому В контуре с одними емкостями оно интегральное, но дифференцированием приводится к алгебраическому Наконец, для контуров с сопротивлениями и индуктивностями или с сопротивлениями и емкостями получаем дифференциальные уравнения первого порядка Кроме того, контуры, конечно, надо выбирать так, чтобы уравнения по второму закону Кирхгофа были независимыми Тогда порядок дифференциального уравнения относительно одной неизвестной функции и степень характеристического уравнения цепи равны сумме порядков дифференциальных уравнений отдельных контуров.

Степень характеристического уравнения цепи можно найти не составляя и не раскрывая определитель системы дифференциальных равнении Например, для цепи рис. 13-25 выберем контуры так, чтобы второй включал индуктивность и емкость а первый — только емкость Тогда порядок дифференциального

уравнения для второго контура равен двум, а для первого — единице. Следовательно, степень характеристического уравнения цепи равна трем Н В общем случае, когда цепь разбивается указанным выше способом на контуров и каждый контур содержит в своем составе индуктивность и емкость, степень характеристического уравнения цепи будет

Составить определитель в общем случае можно следующим образом Рассматривая коэффициенты при свободных контурных токах в равенствах (13-66а) и (13-66б), видим, что они записаны как комплексные сопротивления тех же контуров, но с заменой на Например, комплексное сопротивление второго контура

заменяется величиной

Следовательно, определитель системы может быть составлен подобно тому, как это делается при расчете цепей переменного тока методом контурных токов.

Как будет показано ниже (§ 14-3), можно записать в зависимости от входное сопротивление цепи (рис 13-25) для любой из ветвей, например первой

и, приравняв его сразу получить характеристическое уравнение цепи При этом легко убедиться, что числители входных сопротивлений любой из ветвей будут одинаковы. Поэтому для получения характеристического уравнения можно составить любое из входных сопротивлений или .

Найдя корни характеристического уравнения системы, напишем общие выражения для каждого из контурных токов.

Рассмотрим несколько случаев.

а) корни вещественные и различные:

б) корни вещественные и равные, т. е.

в) корень — вещественный, а корни — комплексные и сопряженные, т. е.

Поскольку порядок расчета не зависит от вида корней характеристического уравнения, рассмотрим в дальнейшем первый случай.

Выберем произвольно положительные направления свободных токов в ветвях схемы (рис. 13-25) Целесообразно (но, разумеется, не обязательно), когда это возможно, выбрать их совпадающимч с принятыми ранее положительными направлениями контурных Тиков (например, токи в ветвях 1 и 2).

Далее запишем выражение переходного тока, например, ветви

и покажем, как определить постоянные интегрирования Для этого дважды продифференцируем (13-68) и подставим в (13-68) и в полученные дифференцированием выражения:

    (13-69)

Так как значения принужденного тока и его производных при а также корни характеристического уравнения известны, то из уравнений (13-69) можно найти если известны значения тока и его производных при Для вычисления запишем уравнения первого и второго законов Кирхгофа для токов ветвей:

    (13-70а)

где

где

По законам коммутации токи в ветвях с индуктивностью и напряжения на емкостях в момент коммутации скачком не изменяются. Следовательно, в системе при значения известны. Тогда из первых двух уравнений (13-70) находим .

Затем продифференцируем уравнения (13-70а) и (13-706) и перепишем уравнение (13-70в):

    (13-71б)

Рассматривая систему уравнений для и учитывая, что в ней известны начальные значения всех токов, а также из уравнения (13-71в) находим , а из первых двух .

Дифференцируя еще раз эту систему, получаем:

    (13-720)

рассматривая систему (13-72а)-(13-72в) для и зная начальные значения всех токов и их первых производных, из уравнения (13-72в) находим а из первых двух

Теперь легко наити постоянные интегрирования Из системы уравнений (13-69).

В общем случае для дифференциальных уравнений, определитель которых порядка, при вычислении постоянных интегрирования нужно предварительно определить начальные значения искомой величины и ее производных.

Рис. 13-26.

Из подобных же уравнений определяются постоянные интегрирования, например, для тока если его нельзя найти из уравнений Кирхгофа по найденному току Впрочем, часто это можно сделать.

Например, для схемы, изображенной на рис. 13-25, следует после определения тока найти напряжение на зажимах ветви 1 и по нему ток . Затем по первому закону Кирхгофа легко найти ток

Пример 13-3. Найти токи в цепи (рис 13-26) после выключения рубильника, если известны .

Решение. Найдем ток и напряжение на индуктивности в принужденном режиме до коммутации

где

Найдем все токи в принужденном режиме после коммутации:

где

Переходим к расчету переходных токов.

Разбив схему на контуры, как показано на рис. 13-26, составим уравнения для свободных контурных токов:

Алгебраизуя эту систему дифференциальных уравнений, получаем:

Характеристическое уравнение составим, приравняв нулю определитель этой системы однородных алгебраических уравнений:

или

Корни его

Напишем сначала выражение для тока

В момент коммутации ток в индуктивности не изменяется скачком. Поэтому

откуда

Так как при не изменяется скачком напряжение на конденсаторе то, как видно из схемы рис. 13-26, не изменится скачком и напряжение на индуктивности что позволяет сразу найти

откуда

Окончательно для i получаем:

Составив для внешнего контура схемы рис. 13-26 уравнение второго закона Кирхгофа для свободных токов

найдем, что

Тогда

Теперь запишем переходные токи