13-17. Временная и импульсная переходные характеристики

В линейной теории автоматического управления и в других дисциплинах часто пользуются понятиями временной и импульсной переходной характеристики какой-либо системы или цепи. Первая из них введена в § 13-15 для двухполюсника. Последняя называется иначе весовой функцией системы или цепи.

Рис. 13-34.

Временной характеристикой, например, четырехполюсника называется реакция (напряжение или ток) на выходе при приложении ко входу единичного ступенчатого воздействия.

Единичный скачок (или единичное ступенчатое воздействие) задается единичной функцией 1 (t), изображенной на рис. 13-34, и представляет собой с точки зрения теории электрических цепей единичное постоянное напряжение или ток, включаемые на вход цепи или системы в момент так что

    (13-8)

Если определяется ток, то в соответствии с § 13-15 временная функция совпадает с переходной проводимостью g (t), т. е.

    (13-81)

а если определяется напряжение, то она совпадает с переходной функцией напряжения у (t), т. е.

    (13-82)

Понятие временной характеристики, как реакции системы (или как выходной величины, за которую может быть принята любая из функций системы) на единичное ступенчатое воздействие, приложенное к ее входу (причем, за вход системы может быть принята любая точка, ветвь или два ее зажима), применимо не только к электрическим цепям, но и к любым физическим системам — механическим, пневматическим, гидравлическим, электромеханическим и т. д.

Таким образом, временные характеристики цепей , если, например, в качестве выходной величины выбраны токи, даются формулами (13-12), (13-25), (13-60), (13-63) при а если выбраны напряжения на емкостях, то формулами (13-24), (13-59), (13-62) также при

Временная характеристика введена в основном по двум причинам:

1. Единичное ступенчатое воздействие — скачкообразное и поэтому довольно тяжелое для любой системы внешнее воздействие. Следовательно, важно знать реакцию системы именно при таком

воздействии. Иные, например, всевозможные плавные воздействия будут для системы легче.

2. Если определена характеристика h (t), то при помощи интеграла Дюамеля (см. § 13-15 и 13-16) с учетом равенств (13-81) и (13-82) можно определить реакцию системы при любой форме внешних воздействий.

Выше были определены переходные процессы в цепях и r, С также при гармонических внешних воздействиях. Это делалось потому, что гармонические воздействия очень часто встречаются в электротехнике. Но, разумеется, реакции любых цепей на приложенные к их входу гармонические внешние воздействия можно найти и по известным временным характеристикам при помощи интеграла Дюамеля.

Существует еще один вид внешнего воздействия, называемый единичным импульсом, дельта-функцией или функцией Дирака, которое определяется как производная по времени единичной функции

    (13-83)

представляет собой предельный случай импульса очень большой величины и очень малой продолжительности (рис. 13-35), когда его длительность стремится к нулю, но площадь сохраняется равной единице.

Рис. 13-35.

Действительно, оставляя сейчас в стороне вопрос о законности операций дифференцирования разрывной функции отметив, что в теории обобщенных функций эти операции достаточно строго обоснованы, найдем площадь единичного импульса:

    (13-84)

Импульсной переходной характеристикой или весовой функцией системы (например четырехполюсника) называется реакция на выходе, если к входу приложено внешнее возмущение в виде единичного импульса . Эту реакцию обозначим как k (t). Поскольку внешние возмущения связаны равенством (13-83), а также полагая, что получаем, что подобным же равенством связаны и их реакции на выходе системы, т. е.

    (13-85)

В справедливости (13-85) можно убедиться непосредственно, вычислив что особенно удобно сделать операторным методом (см. гл. 14).

Если же то соотношение (13-85) обобщается:

    (13-85а)

Например, если при включении цепи r, С на единичный импульс в качестве выходной величины рассматривается ток, то

Так как при в составе приложенного напряжения имеется дельта-функция и в этот момент по второму закону коммутации то дельта-функция должна быть и в составе тока, что и объясняет наличие второго слагаемого в правой части (13-85а).

В задачах теории автоматического управления часто нужно бывает знать импульсную переходную характеристику k (t). Она введена по тем же двум причинам, что и

1. Единичный импульс — скачкообразное и поэтому довольно тяжелое возмущение для системы или цепи; оно тяжелее, чем плавное возмущение. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи на это возмущение.

2. При помощи некоторого видоизменения интеграла Дюамеля можно, зная k (t), вычислить реакцию системы или цепи на любое внешнее возмущение (см. § 13-18).

Реализацию внешнего воздействия в виде единичного импульса обычно представляют как экспоненциальное воздействие с очень большой начальной ординатой и очень малой постоянной времени , так что

    (13-86)

где — площадь, ограничиваемая экспоненциальным импульсом, т. е.

    (13-87)

Отметим еще, что если в теории электрических цепей типовыми внешними воздействиями считаются ступенчатое и гармоническое, то в теории автоматического управления и в других дисциплинах — единичное ступенчатое 1 (t), единичный импульс и гармоническое внешние воздействия.