2-5. Топологические формулы и правила для определения передачи электрической цепи

Для определения входных и взаимных сопротивлений, проводимостей и коэффициентов передачи токов и напряжений по существу, как уже было показано, приходится в каждом случае вычислить отношение тока или напряжения, измеряемых соответствующими приборами, к напряжению или току источника. Для расчета часто целесообразно пользоваться соответствующими разложениями (2-21) или (2-30), причем можно установить связь между значениями эгих определителей и условиями, налагаемыми приборами и источниками на режимы цепей в зависимости от определяемых величин. С этой целью следует ввести в схему вегвь с источником И и ветвь с измерительным прибором Пр. Если в рассматриваемой цепи имеется несколько источников и приемников, то сначала рассматривается только одна пара ), а затем поочередно все другие возможные сочетания; для определения соответствующих величин можно пользоваться принципом наложения.

Предварительно введем некоторые дополнительные понятия.

Передача Н (коэффициент передачи, взаимное сопротивление или проводимость) — отношение показания измерительного прибора Пр к напряжению или току источника Я; путь передачи — путь, состоящий из двух узлов источника (ветви с источником), ветвей схемы и ветви с измерительным прибором (при определении входного сопротивления или входной проводимости в путь передачи ветви схемы не входят); значение пути передачи равно произведению проводимостей пути передачи, при этом проводимость измерительного прибора считается равной единице; знак принимается положительным (отрицательным), когда ток в ветви измерительного прибора пути, обусловленный заданным направлением тока или напряжения источника, стремится вызвать положительное

(отрицательное) отклонение прибора с известной полярностью. Минор пути передачи равен определителю цепи, остающейся после короткого замыкания пути передачи, включая ветвь измерительного прибора Пр.

Таким образом, передача Н может быть выражена при помощи топологического закона передачи в виде отношения определителей, разложенных по соответствующим путям:

где DM — определитель определенной матрицы узловой проводимости цепи, в которой э. д. с. источника и ток источника тока приравниваются нулю, что равносильно короткому замыканию идеального источника э. д. с. и размыканию идеального источника тока; сопротивление амперметра принимается равным нулю, а сопротивление вольтметра — бесконечности.

Рис. 2-21.

Алгебраическое дополнение D получается из D вычеркиванием строки и столбца, соответствующих определяемой величине, и умножением полученного выражения на , где — номера вычеркиваемых строки и столбца. Предполагается, что определитель составлен из коэффициентов системы уравнений, определяющих напряжения на зажимах ветвей (в общем случае не совпадающие с потенциалами узлов). К такому виду, как было показано, можно преобразовать любую систему узловых уравнений (стр. 37).

Изложенные правила, как будет показано, по существу непосредственно вытекают из аналитических выражений, определяющих соответствующие величины.

На рис. 2-21, а изображена схема, ранее показанная на рис. 1-23, после замены источника источником тока . Требуется определить напряжения а также найти коэффициент передачи тока в одну из указашшх ветвей,

Напряжение как следует из ранее составленных уравнений (1-40), определяется по формуле

где — определитель узловой проводимости для заданной схемы, определяемый по формуле (2-30), получается из заменой четвертого столбца правой частью узловых уравнений (1-40); при этом ток вынесен из определителя, т. е.

Остановимся на разложении определителя по формуле (2-30). Разложение можно произвести относительно путей между любой парой узлов, например узлов 2 и 3. Между этими узлами имеются восемь путей со значениями: , при этом каждый из миноров равен единице, поскольку пути со значениями проходят через все узлы схемы. Сравнительно сложное выражение получается для минора определяемого из схемы рис. 2-21, б, которая получается из основной схемы при :

Однако это выражение легко получается пугем повторного применения формулы разложения (2-30) к схеме рис. например, при разложении по путям между узлами 1 и 4 (рис. 2-21, б)

Остальные миноры узлового определителя находятся по формулам

и узловой определитель

Теперь рассмотрим разложение (2-37). Это выражение можно представить в виде разложения по замкнутым путям относительно узлов той ветви, на зажимах которой определяется напряжение . Поскольку в выражении (2-37) отсутствует проводимость то к зажимам узлов О и 4 присоединяется вольтметр, через который и проходят пути разложения. Кроме того, определитель умножается на ток источника тока; поэтому пути разложения определителя должны проходить через источник тока, т. е. от его зажимов через ветви цепи и через вольтметр, измеряющий напряжение ил. Первый путь со значением проходит через все узлы схемы, следовательно, при коротком замыкании этого пути минор . Второй путь со значением при коротком замыкании пути значением (включая вольтметр) определитель

Напряжение на зажимах третьей ветви

где — определитель узловой проводимости (2-39) и

    (2-41)

Полученное выражение легко представить, так же как в виде суммы произведений значений путей, проходящих от зажимов источника тока через ветви схемы и вольтметр на соответствующие миноры:

Напряжение можно найти непосредственно по потенциалам

    (2-42)

Однако это же выражение можно получить при помощи разложения по путям, проходящим от зажимов источника тока через вольтметр . Значение пути поэтому минор ; значение пути и значение пути Пути со значениями направлены противоположно направлению обхода пути со значением и эти два значения отрицательные. Для определения токов в ветвях достаточно умножить напряжения на зажимах ветвей на

их проводимости. Например,

Из этого выражения следует, что для определения тока в соответствующей ветви необходимо проходить пути через ветвь, в которой определяется ток, и проводимость этой ветви входит сомножителем в значение пути. Учитывая это соотношение, при определении тока в соответствующую ветвь можно включить амперметр (на рис. 2-21, а показан в ветви 3—4), принимая в значении пути его проводимость равной единице.

Рис. 2-22.

Рассмотрим еще схему с идеальным источником э. д. с. Е (рис. 2-22, а).

Поскольку ветвь с источником не имеет сопротивления, то для получения узловых уравнений типа (1-33) переведем э. д. с. через третий узел в первую и вторую ветви. После переноса э. д. с. Е узловые точки 3 и 5 объединяются в один узел. Для полученной схемы напишем три независимых узловых уравнения (для узлов 1, 2 и 4), решив которые, найдем потенциалы узлов.

Найти напряжения на ветвях и, в частности, по известному напряжению определить коэффициент передачи можно при помощи формулы (2-35). При вычислении знаменателя и числителя этой формулы следует пользоваться изложенными топологическими правилами.

Чтобы найти определитель нужно закоротить источник э. д. с., т. е. соединить узлы 3 и 5 в одну точку (рис. 2-22, б). Получить выражение для определителя можно разложением, например, по путям между узлами 1 и 2:

Следовательно, узловой определитель

Определитель D находим по формуле

где , т. е.

Коэффициент передачи

Таким образом, пользуясь топологическими формулами и правилами, можно сразу написать выражение для коэффициента передачи, без составления и решения соответствующих уравнений,