4-7. Дуальность электрических цепей

Если сравнить между собой структуры и методы решения уравнений узловых потенциалов и контурных токов, то обнаружится много общего. В частности, это видно при сравнении операций по преобразованию схем путем уменьшения числа узлов и числа контуров. Все математические выражения получаются сходными по форме записи, причем проводимостям в уравнениях узловых потенциалов соответствуют сопротивления в уравнениях контурных токов.. Отмеченное сходство можно обобщить и применить, например, для целесообразной замены схем при расчетах режимов сложных электрических цепей.

Пусть электрическая схема произвольной конфигурации планарного вида (без пересекающихся ветвей, расположенных на плоскости) имеет в своем составе у узлов и к независимых контуров и пусть Положительные направления контурных токов выбраны так, что Падения напряжений в общих ветвях входят в контурные уравнения с отрицательными знаками. Предположим, что число независимых

узлов (у — 1) равно числу независимых контуров к, и сравним комплексное уравнение контурных токов для любого контура

где — собственное контурное сопротивление контура с уравнением узловых потенциалов для любого s-го узла

где — сумма проводимостей всех ветвей, присоединенных к s-му узлу.

Легко установить полное сходство в записи уравнений (4-6) и (4-7). Из сходства уравнений следует, что для любой заданной планарной схемы можно составить другую электрическую схему, для которой узловые уравнения типа (4-7) будут идентичны контурным уравнениям (4-6) первой схемы. Такие две схемы называются дуальными. Контурные токи для первой схемы идентичны потенциалам соответствующих узлов второй схемы; общие сопротивления контуров первой схемы идентичны проводимостям ветвей, включенных между соответствующими узлами второй; суммарные э. д. с. в контурах первой схемы идентичны узловым токам второй; токи в ветвях, обусловленные источниками тока первой схемы, идентичны э. д. с. в соответствующих ветвях второй. Иначе говоря, справедливы следующие взаимные соответствия:

При этом общее число узлов второй дуальной схемы на единицу больше числа независимых контуров первой схемы.

Поскольку возможности преобразования «узловой» схемы несколько большие, чем для «контурной» (например, можно преобразовать многолучевую звезду в эквивалентный многоугольник, но не наоборот), то иногда проще произвести расчет режима узловой схемы, а затем полученное решение представить через режим (токи, напряжения) контурной схемы.

Рассмотрим в качестве примера схему на рис. 4-14, а. Для этой схемы при выбранных положительных направлениях контурных токов запишем уравнения:

где

Заменим в уравнениях (4-8) сопротивления — проводимостями, контурные токи — потенциалами, а э. д. с. — токами источников тока. Тогда получим систему уравнений:

где

Рис. 4-14.

Этой системе уравнений соответствует электрическая схема, показанная на рис. 4-14, б и дуальная схеме, изображенной на рис. 4-14, а.

Таким образом, при выполнении отмеченных выше соответствий и численных равенств можно, например, найти потенциалы в схеме

с проводимостями, которые будут равны контурным токам в схеме с сопрртивлениями и наоборот. Кроме того, соответствие означает, что если у первой схемы сопротивление некоторой ветви причем включены последовательно, то соответствующая проводимость второй ветви причем g и включены параллельно и емкостная проводимость численно равна индуктивному сопротивлению (рис. 4-15, а и б).

Для построения дуальной схемы (например, для показанной на рис. 4-14, а) можно пользоваться графическим способом. Внутри каждого независимого контура отмечается узловая точка дуальной схемы (на рис. 4-14, а отмечены узлы 1, 2 и 3), общее число которых равно числу независимых контуров. Зависимый узел указывается во внешней (по отношению к заданной схеме) области (на рис. 4-14, а узел 4). Затем между узлами проводятся линии (пунктирные на рис. 4-14, а), каждая из которых пересекает один элемент заданной схемы. Например, на рис. 4-14, а четвертая ветвь состоит из последовательно соединенных двух сопротивлений и одного источника э. д. с., поэтому между узлами 1 и 2 проведены три пунктирные линии.

Рис. 4-15.

Для определения направлений токов источников тока дуальной схемы обратимся к уравнениям (4-8) и (4-9). Из сопоставления уравнений видно, что если при обходе контура заданной схемы (рис. 4-14, а) по направлению контурного тока э. д. с. входит в уравнение (4-8) с положительным знаком, то ток источника тока в соответствии с уравнением (4-9) в дуальной схеме (рис. 4-14, 6) будет направлен к узлу, отмеченному внутри этого контура.

Следует особо подчеркнуть, что после графического преобразования полученной дуальной схемы (рис. 4-14, 6) должна получиться исходная схема (рис. 4-14, а); это позволяет проверить правильность построения дуальной схемы (рис. 4-14, б).

Изобразим для большей наглядности все ветви заданной мостовой схемы (рис. 4-14, а) отрезками линий (рис. 4-14, в); дуальная схема, изображенная на рис. 4-14, в пунктирными линиями, получилась такой же конфигурации. Такие схемы называются самодуальными. На рис. 4-14, г изображены две самодуальные схемы с восемью ветвями, для которых можно написать четыре независимых контурных и четыре независимых узловых уравнений.

Пример 4-11. Составить схему, дуальную показанной на рис. 4-16, а. Векторы и J совпадают по фазе.

Решение. При выбранных положительных направлениях контурных токов запишем контурные уравнения (4-6):

Им соответствуют узловые уравнения

После подстановки в обе системы уравнений числовых значений получим:

Последним двум уравнениям соответствует дуальная схема на рис. 4-16, б.

Рис. 4-16.

Заменив узловые токи соответствующими э. д. с., получим неразветвленную схему (рис. 4-13, в) с током и с потенциалами узлов (при ), что при переходе к заданной схеме дает контурные токи .