26-2. Понятие об устойчивости режима в цепи с нелинейными резисторами

В электрических цепях с источниками постоянных э. д. с. нелинейными резисторами, имеющими спадающий участок xapaктеристики, при определенных условиях невозможен установившийся режим протекания постоянного тока. Некоторые значения токов найденные при помощи общих методов расчета цепей постоянного тока, не могут быть получены, так как они соответствуют неустойчивому режиму. Достаточно ничтожно малого отклонения от этих значений, чтобы начался переходный процесс, приводящий к новому устойчивому значению постоянного тока или к возникновению переменного тока. Поэтому даже при расчете цепи постоянного тока с нелинейными резисторами типа S и N необходимо решить вопрос об устойчивости полученного режима.

Основы математической теории устойчивости были заложены трудами выдающегося русского ученого профессора Харьковского университета А. М. Ляпунова. Исследуя нелинейные задачи небесной механики, А. М. Ляпунов показал, что правильное суждение об устойчивости при малых отклонениях от состояния равновесия может быть получено на основании линеаризации нелинейного уравнения, т. е. замены нелинейной характеристики касательной в точке предполагаемого состояния равновесия.

Предположим, что исследуется состояние равновесия цепи с нелинейным резистором при токе и напряжении Раскладывая характеристику t в ряд вблизи точки равновесия и пренебрегая высшими степенями, получаем:

Обозначая приращения тока и напряжения относительно через , дифференциальное сопротивление в точке равновесия через получаем закон Ома для приращения тока и напряжения

причем на спадающих участках характеристики

Правая часть дифференциального уравнения цепи для А и или характеризующая установившийся режим, равна нулю и решение содержит только свободные составляющие. Но в отличие от реальных линейных цепей, для которых все корни характеристических уравнений имеют отрицательную вещественную часть и свободные составляющие затухают, в цепях с нелинейными резисторами типа или N характеристические уравнения могут иметь корни с положительной вещественной частью.

Такие корни свидетельствуют о наличии нарастающих свободных составляющих переходного процесса, т. е. о неустойчивом режиме. Следовательно, критерием устойчивости состояния равновесия является отсутствие в характеристическом уравнении, составленном

при линеаризации нелинейной характеристики в точке равновесия, корней с положительной вещественной частью.

При анализе устойчивости режима большое значение имеют малые паразитные емкости и индуктивности нелинейных элементов, которыми пренебрегают при исследовании линейных цепей Опыт доказал, что при анализе устойчивости цепей, содержащих нелинейные резисторы типа S, необходимо учитывать малую индуктивность, включенную последовательно с сопротивлением. Для резисторов типа N, наоборот, необходимо учитывать малую емкость, включенную параллельно нелинейному резистору.

На значение малых параметров при анализе устойчивости нелинейных цепей впервые обратили внимание А. А. Андронов и С. Э Хайкин.

Пример 26-1. Исследовать устойчивость режима в точке 3 на характеристике неоновой лампы (кривая на рис 26-3) при включении ее в цепь, изображенную на рис 26-4, для двух случаев:

здесь — дифференциальное сопротивление неоновой лампы в точке — ничтожно малая паразитная индуктивносгь, а и С — сопротивление резистора и емкость конденсатора, включенных в цепь В обоих чаях точка предполагаемого установившегося режима (точка 3) получена в результате пересечения кривой и прямой

Рис. 26-3

Решение Заменяя нелинейное сопротивление отрицательным линейным сопротивлением и применяя обычные методы теории переходных процессов, составляем характеристическое уравнение

или после преобразования

или

где

Корни характеристического уравнения

Так как ничтожно мало, то для обоих случаев (рис 26-3, а и б) Следовательно, по крайней мере один из корней характеристического уравнения положителен

Таким образом, вне зависимости от соотношения между режим в точке 3 при оказывается неустойчивым.

Рис. 26-4

Иной вывод получается, если пренебречь малой индуктивностью L g. В этом случае характеристическое уравнение

имеет единственный корень

Рассматривая полученное выражение, можно сделать ошибочный вывод что при [вариант рис 26-3,б и соответствующая ему прямая при на рис 26-3] равновесие будет устойчивым

В неустойчивых цепях с отрицательными дифференциальными сопротивлениями при действии только постоянных э. д. с. могут возникать переходные процессы, приводящие к колебательному режиму — автоколебаниям.

Автоколебания, возникающие в нелинейных цепях, можно подразделить на: а) резко несинусоидальные или релаксационные и б) близкие к синусоидальным или, как их условно называют, синусоидальные, хотя этот термин не совсем соответствует действительности.

Рассмотрим примеры автоколебаний каждого типа.