13-18. Запись теоремы свертки при помощи импульсной переходной характеристики

Пусть на вход пассивной системы или цепи действует источник напряжения или тока . Для того чтобы охватить оба случая, будем говорить о действии внешнего возмущения (рис. 13-36). Определим реакцию на выходе в момент времени

Разобьем кривую на отдельные импульсы шириной и высотой для момента времени Для единичного импульса, действующего в момент времени , реакция на выходе по определению равна импульсной переходной характеристике

где промежуток времени от момента действия импульса до момента t. Но площадь рассматриваемого импульса не равна единицу а Равна Поэтому реакция от него на выходе в момент t будет равна Суммируя действия всех импульсов, каждый из которых имеет бесконечно малую площадь, от до получим реакцию на выходе

    (13-88)

Рис. 13-36.

Эта запись, применяющая импульсную переходную функцию, более удобна, чем запись, определяемая пятой или шестой формами интеграла Дюамеля, использующая переходную проводимость g (t), так как здесь от интеграла не нужно брать производную, и называется она теоремой свертки двух функций

Представляет интерес случай, когда внешнее воздействие было приложено к входу задолго до начала счета времени, т. е. при и действует далее непрерывно (рис 13-37)

Тогда вместо (13-88) можем написать

    (13-89)

Осуществив в (13-89) замену переменных получим.

    (13-90)

При этом легко видеть, что новая переменная интегрирования изменяется в пределах от (импульс, примыкающий слева к точке t) до (импульс, расположенный в начале действия возмущения т. е. при )

Предположим, что внешнее воздействие, приложенное к входу системы или цепи продолжается и правее точки t, вплоть до Ясно, что все импульсы, действующие в моменты времени, большие t, не могут дать никакой реакции на выходе в момент t, им предшествующий, так как следствие (реакция на выходе) не может возникнуть раньше причины (возмущение на входе) Иначе говоря, физически не осуществимым является возникновение следствия раньше причины Наоборот, физически осуществимым ляется только такое положение, когда следствие возникает одновременно или позже появления причины

Рис. 13-37.

Однако при рассмотрении систем автоматического управления, находящихся под воздействием стационарных случайных возмущений (статистическая динамика) приходится иногда рассматривать идеальный случай При этом с целью получения наиболее простых соотношений (так назывармые задачи Шеннона — Боде и Винера) и считаются с положением о физической осуществимости, принимая, что в составе

реакции на выходе в момент времени t участвуют абсолютно все элементарные импульсы, возникающие на всем промежутке времени от до Тогда в теореме свертки соотношения (13-89) и (13-90) будут записываться следующим образом: