1-6. Применение законов Кирхгофа для расчета разветвленных цепей

Для расчета разветвленной электрической цепи произвольного вида существенное значение имеет число ветвей и узлов.

Ветвью электрической цепи называется такой ее участок, который состоит только из последовательно включенных источников

э. д. с. и сопротивлений и вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трех и более ветвей. Узлом электрической цепи иногда называется точка соединения двух и более ветвей. Однако, как видно из приведенного выше определения ветви, каждая узловая точка, к которой присоединены только две ветви (она и образует их последовательное соединение), всегда может быть устранена (такие узлы иногда называют устранимыми); в результате в схеме остаются узлы только с тремя и более ветвями.

При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям; при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза.

Рис. 1-17.

На рис. 1-17 в качестве примера показана электрическая цепь с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с сопротивлениями, без э. д. с. (ветвь ) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь ). Так как напряжение на зажимах ветви равно нулю (сопротивление равно нулю), то потенциалы точек одинаковы и оба узла можно объединить в один.

Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в изле равна нулю, т. е.

В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. В дальнейшем будем в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, записывать токи, которые направлены к узлу, с отрицательными знаками, а направленные от узла — с положительными 1.

Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В дальнейшем будет показано, что в ряде случаев целесообразно писать в одной части равенства

(1-19) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части — алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов:

где — ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в уравнение (1-19а) с положительным знаком, если направлен к узлу, и с отрицательным, если направлен от узла.

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме э. д. с., т. е.

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и э. д. с., положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей, входящих в этот контур, равна нулю:

    (1-20а)

При этом положительные направления для напряжений на зажимах ветвей выбираются произвольно; в равнении (1-20а) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

В теории электрических цепей решаются задачи двух типов.

К первому типу относятся задачи анализа электрических цепей, когда, например, известны конфигурация и элементы цепи, а требуется определить токи, напряжения и мощности тех или иных участков. Ко второму типу относятся обратные задачи, в которых, например, заданы токи и напряжения, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Такие задачи называются задачами синтеза электрических цепей. Отметим, что решение задач анализа намного проще решения задач синтеза.

В практической электротехнике довольно часто встречаются задачи анализа. Кроме того, для овладения приемами синтеза цепей необходимо предварительно изучить методы их анализа, которые преимущественно и будут в дальнейшем рассматриваться.

Задачи анализа могут быть решены при помощи законов Кирхгофа. Если известны параметры всех элементов цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности:

довательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.

Пусть электрическая цепь содержит в ветвей и у узлов. Покажем, что на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно и в взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения в токов (во всех ветвях).

Рис. 1-18.

На основании первого закона Кирхгофа для у узлов (рис. 1-17) можно написать у уравнений:

Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно войти в эти уравнения два раза, причем и т. д.

Следовательно, сумма левых частей всех у уравнений дает тождественно нуль. Иначе говоря, одно из у уравнений может быть получено как следствие уравнений или число

взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно , т. е. на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1-18, а с четырьмя узлами

Суммируя эти уравнения, получим тождество следовательно, из этих четырех уравнений только три независимые.

Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в отдельных узлах электрической цепи, так и в любых ее частях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому-либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности (что уже было отмечено выше).

Например, для поверхности S (рис. 1-18, а), как бы рассекающей электрическую схему на две части, справедливо уравнение что можно также получить из уравнений (1-21а) для узлов 3 и 4.

Чтобы установить число взаимно независимых уравнений, вытекающих из второго закона Кирхгофа, напишем для всех в ветвей схемы (рис. 1-17) в уравнений на основании закона Ома:

где — сопротивление ветви, соединяющей узлы ,

— суммарная э. д. с , действующая в ветви в направлении от к у;

— потенциалы узлов и у.

В этих уравнениях суммарное число неизвестных токов в ветвей и потенциалов у узлов равняется в у.

Не изменяя условий задачи, можно принять потенциал одного из узлов равным любой величине и, в частности, нулю. Если теперь из системы в уравнений (1-22) исключить оставшиеся неизвестными потенциалов, то число уравнений уменьшится до в —

Но исключение потенциалов из уравнений (1-22) приводит к уравнениям, связывающим э. д. с. источников с напряжениями на сопротивлениях. т. е. к уравнениям, составленным на основании второго закона Кирхгофа.

Таким образом, число взаимно независимых уравнений, которые можно составить на основании второго закона Кирхгофа, равно

В качестве примера напишем уравнения, связывающие потенциалы узлов с токами и э. д. с. для схемы рис. 1-18, а:

Складывая третье и четвертое уравнения и вычитая полученную сумму из первого, получаем:

Если применим второй закон Кирхгофа (1-20) к контуру 1-4-2-1 (при обходе вдоль контура по направлению движения часовой стрелки), то получим это же уравнение.

Аналогичным путем можно получить уравнения для остальных контуров:

для контура

для контура 2-3-4-2

Совместное решение любых трех уравнений (1-21а) и уравнений (1-23) и (1 -24) дает значения токов во всех ветвях электрической цепи, показанной на рис. 1-18, а. Если в результате решения этих уравнений получится отрицательное значение для какого-либо тока, то это значит, что действительное направление противоположно принятому за положительное.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует обращать особое внимание на то, чтобы составленные уравнения были взаимно независимы. Контуры необходимо выбрать так, чтобы в них вошли все ветви схемы, а в каждый из контуров — возможно меньшее число ветвей. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий контур, для которого составляется уравнение, имеет не меньше одной новой ветви и не получается из контуров, для которых уже написаны уравнения, путем удаления из этих контуров общих ветвей.

Например, контур 1-3-4-2-1 (рис. 1-18, а) можно получить из контуров 1-3-2-1 и 2-3-4-2 путем удаления ветви 2-3. Поэтому уравнение для контура 1-3-4-2-1 является следствием уравнений (1-24) и получается путем их суммирования.

Вторым законом Кирхгофа можно пользоваться для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы.

В этом случае необходимо ввести в левую часть уравнений (1-20) искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого. Например, для определения напряжения

(рис. 1-18, а) можно написать уравнение для контура 2-1-5-2

или для контура 5-4-2-5

откуда легко найти искомое напряжение.

При изложении методов расчета электрических цепей иногда целесообразно применять некоторые топологические понятия, к числу которых относятся, в частности, неориентированный и ориентированный графы.

Как следует из первого закона Кирхгофа (1-19), вид уравнений зависит не от элементов ветвей, соединенных в узлах, а от геометрической структуры самих соединений. Аналогичный смысл имеет уравнение (1 -20а), выражающее второй закон Кирхгофа, поскольку в эти уравнения в отличие от уравнений (1-20) элементы ветвей (э. д. с., сопротивления) не входят. Однако сами токи и напряжения зависят не только от геометрической структуры цепи, но и от элементов соответствующих ветвей, что непосредственно следует из закона Ома для участка цепи с э. д. с. (1-12).

Таким образом, для характеристики геометрической структуры схемы электрической цепи можно воспользоваться графом, линейные отрезки которого, часто называемые ветвями (ребрами), изображает ветви схемы электрической цепи. На рис. 1-18, б показан ненаправленный (неориентированный) граф для электрической схемы, изображенной на рис. 1-18, а. При этом каждый из отрезков — ветвей этого графа (рис. 1-18, б) соответствует определенной ветви электрической схемы (рис. 1-18, а).

Направленным (ориентированным) графом называется такой, у которого каждая ветвь имеет определенное направление (ориентацию). Для графов электрических схем направление (ориентация) ветвей, как правило, совпадает с положительными направлениями токов и напряжений, которые выбраны при составлении уравнений состояния электрических цепей.

Для той же электрической схемы (рис. 1-18, а) показан направленный граф на рис. 1-18, в, у которого направления ветвей совпадают с положительными направлениями токов и напряжений.

Для направленного графа рис. 1-18, в можно написать уравнения на основании первого (1-19) и второго (1-20а) законов Кирхгофа в следующем виде:

и

При этом первые четыре уравнения совпадают с уравнениями (1 -21 а), а последние три уравнения можно преобразовать в уравнения (1-23) и (1-24) при помощи закона Ома для участка цепи с э. д. с. (1-12).

Например, из схемы (рис. 1-18, а) следует, что

после замены напряжений в уравнении для контура 1-4-2-1 (рис. 1-18, в) их правыми частями получается выражение, совпадающее с уравнением (1-23).

Отметим, что концевые точки ветвей графа называются узлами (вершинами).

Для полной характеристики электрического состояния цепи надо знать не только токи и напряжения, но также мощности источников и приемников энергии.

В соответствии с законом сохранения энергии развиваемая источниками энергия равна энергии, потребляемой приемниками. Из этого положения следует, что для любой электрической цепи с источниками э. д. с. алгебраическая сумма мощностей, развиваемых источниками э. д. с., равна сумме мощностей, потребляемых всеми сопротивлениями (в том числе внутренними сопротивлениями источников энергии):

Если действительные направления э. д. с. и тока в некоторой ветви совпадают, то мощность такого источника э. д. с. входит в уравнение (1-25) с положительным знаком и источник отдает энергию в цепь (работает в режиме генератора). Если направления э. д. с. и тока в ветви противоположны, то мощность источника э. д. с. записывается в уравнении (1-25) с отрицательным знаком и такой источник работает в режиме приемника, потребляя энергию.

Отметим, что уравнение (1-25) может быть получено также из законов Кирхгофа (1-19) и (1-20).

Матричная форма записи уравнений Кирхгофа. Если электрическая цепь состоит из в ветвей, то на основании (1-19а) и (1-20) можно в общем случае записать в независимых алгебраических уравнений электрического состояния цепи в следующем виде:

Поскольку эти уравнения получены на основании двух разных законов, то они не однотипны. В узловых уравнениях, вытекающих из первого закона Кирхгофа (1-19а), коэффициенты не имеют размерности и, очевидно, могут принимать только значения ±1 или 0. Правые части в этих уравнениях имеют размерность тока и равны нулю, если к соответствующему узлу не подключены источники тока.

В контурных уравнениях, вытекающих из второго закона Кирхгофа (1-20), коэффициенты имеют размерность сопротивления,

а величины размерность потенциала и равны нулю, если в контуре нет э. д. с. Если ветвь входит в контур, для которого составляется уравнение, то, очевидно, должно быть а если не входит — . Здесь сопротивление ветви, входящей в контур.

Уравнения (1-26) можно записать в более общей матричной форме:

где а — квадратная матрица коэффициентов, т. е.

I — матрица-столбец токов ветвей, т. е.

и F — матрица-столбец активных параметров, т. е.

Например, для схемы рис. 1-18, а первые три уравнения (1 -21 а), а также уравнения (1-23) и (1-24) можно записать в матричной форме, если принять:

Справедливость приведенной записи легко проверить, подставив матрицы а, I и F в уравнение (1-27).

Пример 1-2. Пользуясь законами Кирхгофа, написать два выражения для тока в ветви с гальванометром (рис. 1-19), принимая в одном случае известным а в другом — напряжение

Решение На основании законов Кирхгофа напишем для заданной схемы с шестью неизвестными токами уравнения:

Рис. 1-19.

Решая совместно эти уравнения, получаем выражение для тока через напряжение

и через ток