13-7. Включение цепи r, С на постоянное напряжение

Рассмотрим переходный процесс при включении цепи r, С на постоянное напряжение U (рис. 13-13).

Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для свободного процесса, совпадает с (13-21). Поэтому свободное напряжение на емкости

Переходное напряжение на емкости

Так как конденсатор не был заряжен, т. е. при напряжение то и

    (13-24)

Для тока получим:

    (13-25)

Рис. 13-13.

Начальное значение тока i (0) может быть получено и непосредственно. Так как то все напряжение источника U при оказывается приложенным к сопротивлению .

Рис. 13-14.

Кривые изменения и i (рис. 13-14) показывают, что напряжение на емкости и ток в цепи не устанавливаются мгновенно. Напряжение возрастает и ток спадает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи , т. е. чем медленнее затухает свободное напряжение иссв.

Отметим аналогию законов изменения тока в цепи и напряжения в цепи r, С при включении их на постоянное напряжение. Она следует из сравнения равенств (13-12) и (13-24) и кривых на рис. 13-6 и 13-14. Аналогично также изменение величин и i в тех же цепях. Аналогия распространяется и на случаи включения цепей на синусоидальное напряжение.

К исследованию процессов зарядки и разрядки конденсатора через резистор сводятся многие важные практические задачи, возникающие при расчете переходных процессов в цепях автоматики, телемеханики, электроники и связи.

Как будет показано ниже, энергия, переходящая в тепло при включении цепи r, С, не зависит от .

Рис. 13-15.

Пример 13-2. В цепи, показанной на рис. 13-15, замыкается рубильник. Найти напряжения на конденсаторах и ток, если конденсаторы были заряжены до напряжений

Решение. Выберем положительные направления тока t и напряжений на конденсаторах (рис. 13-15).

В установившемся режиме ток будет равен нулю. Поэтому потенциалы точек а и b сравняются, т. е.

или

где — заряды на конденсаторах.

Согласно закону сохранения заряда

где

Решив совместно уравнения (а) и (б), получим:

откуда

Тогда

где

поскольку конденсаторы соединены последовательно.

По второму закону коммутации при получим и из формулы (в) их , откуда

Аналогично находим:

Устремляя к нулю и решая задачу в этом случае, получим, что суммарная энергия конденсаторов по окончании переходного режима меньше их суммарной первоначальной энергии. Это указывает на неточность постановки задачи при . В самом деле, при ток интеграл может быть конечным.