4-8. Сигнальные графы и их применение для расчета цепей

Для исследования сложных электрических цепей и систем, в особенности с обратной связью, полезно наглядное изображение уравнений состояния с учетом влияния всех параметров цепи. Такую наглядность дает сигнальный (направленный) граф, представляющий собой графическое изображение соотношений между переменными величинами заданной системы уравнений. Однако достоинство таких графов состоит не только в их наглядности; применение сигнальных графов во многих случаях позволяет определить зависимость любой переменной величины — сигнала через остальные переменные непосредственно по конфигурации графа.

Рассмотрим примеры построения сигнальных графов для электрической схемы рис. 4-17, а. Пользуясь методом контурных токов, запишем для этой схемы уравнения:

где

Из уравнений (4-10) следует, что

Последним уравнениям соответствует сигнальный граф (рис. 4-17, б), представляющий собой совокупность узлов и направленных ветвей (имеющих определенное направление).

Пользуясь методом узловых потенциалов и принимая получаем для той же схемы (рис. 4-17, а) выражения, определяющие потенциалы узлов 1 и 2 в виде

где

Этим уравнениям удовлетворяет сигнальный граф, изображенный на рис. 4-17,б. Легко заметить, что уравнения (4-11) и (4-12), представленные на рис. 4-17 сигнальными графами, записаны в форме «причинно-следственных» отношений, когда каждая переменная выражена в явном виде через другие переменные.

Рис. 4-17.

Введем дополнительные термины, применяемые для сигнальных графов.

Истоком сигнального графа (истоком) называется узел, от которого направлены все примыкающие ветви. Истоку (обозначен жирной точкой) соответствует независимая переменная, представляющая обычно физическую причину. На рис. 4-17, б и в изображены истоки для источника и источника тока У.

Стоком сигнального графа называется узел, к которому направлены все примыкающие ветви и который изображает зависимую переменную (сигнал электрической цепи).

Ветвью сигнального графа называется топологическое изображение направленным отрезком элемента схемы или зависимости между переменными (токами, э. д. с., потенциалами и т. д.). Например, на рис. 4-18 показано, что между узлами k и существует передача сигнала от узла k к узлу . На рис. 4-17, б и в показаны направленные графы, каждый из которых имеет четыре ветви.

Коэффициент передачи ветви графа, или, короче, передача ветви характеризует интенсивность передачи сигнала по этой ветви и в общем случае выражается в виде или (рис. 4-18), где сигналы в узлах k и передача сигнала из узла k в узел .

Истоки содержат только выходящие ветви, а стоки — только входящие. Любой другой узел, кроме истоков и стоков, соответствует, как уже отмечено, одной из зависимых переменных системы уравнений и может быть назван промежуточным узлом. Передача ветви может быть размерной или безразмерной величиной. Например, в сигнальном графе на рис. 4-17, б передача от источника имеет размерность проводимости; все остальные передачи безразмерные. В сигнальном графе на рис. 4-17, в передача от источника тока J имеет размерность сопротивления, а остальные передачи безразмерные.

Рис. 4-18.

Узловой сигнал в любом узле, кроме узлов истока, равен сумме сигналов, поступающих по ветвям, направленным к этому узлу. Ветви, направленные от узла, не влияют непосредственно на его узловой сигнал, но создают сигналы в других узлах, к которым они направлены.

В дальнейшем будем пользоваться без специальных оговорок более кратким термином «граф» вместо сигнальный граф.

Применение законов Кирхгофа, контурных и узловых уравнений для построения сигнальных графов. Для построения графа на основании законов Кирхгофа следует придерживаться определенной последовательности. Сначала выбирается дерево, содержащее ветви с источниками э. д. с. схемы и без источников э.д.с., но не содержащее источников тока. Так, на рис. 4-19, а показана мостовая схема и для построения графа этой схемы выбрано дерево из трех ветвей (рис. 4-19, б) с произвольными положительными направлениями напряжений . Затем напряжения ветвей связи выражаются через напряжения ветвей дерева, а токи ветвей дерева — через токи ветвей связи; в результате получаются уравнения

токи ветвей связи

и токи ветвей дерева

Наконец, напряжения на ветвях дерева выражаются через сопротивления, токи и э. д. с. ветвей:

Последовательность построения узлов и ветвей графа соответствует последовательности записи уравнений (4-13) — (4-16). На рис. 4-19, в изображен граф для заданной мостовой схемы, полностью удовлетворяющий приведенным системам уравнений.

Рис. 4-19.

Для иллюстрации построения графов методом узловых потенциалов и методом контурных токов выберем схему, показанную на рис. 4-20, а.

Пользуясь методом узловых потенциалов, запишем для этой схемы уравнения.

где

Из уравнений (4-17) находим:

Уравнениям (4-18) удовлетворяет граф, показанный на рис. 4-20, б.

Пользуясь методом контурных токов, запишем для схемы рис. 4-20, а уравнения

где

Из этих уравнений получим:

На рис. 4-20, в построен граф, удовлетворяющий уравнениям (4-20).

Рис. 4-20.

Таким образом, в зависимости от применяемого метода для составления уравнений получаются различные графы для одной и той же схемы. При этом легко убедиться в том, что графы, построенные на основании законов Кирхгофа, сложней графов, построенных на основании уравнений Для контурных токов или узловых потенциалов.

Преобразования графов и их связь с преобразованиями электрических схем. Для получения правил преобразования графов рассмотрим ряд примеров.

Исключим из системы Уравнений (4-11) ток а из системы уравнений (4-12) - потенциал ; в результате после элементарных преобразований

образований получим:

Полученным уравнениям соответствуют графы, показанные на рис. 4-21. Из сравнения первых из уравнений (4-11) и (4-21), а также сопоставления графа, приведенного на рис. 4-17, б, с показанным на рис. 4-21, а следует, что операция исключения контурного тока из системы контурных уравнений приводит к устранению контура в заданной схеме (рис. 4-17, а) и узла с током в графе рис. 4-17, б. В результате исключения этого узла получается в графе (рис. 4-21,а) простейший контур, состоящий из петли с передачей, равной произведению передач ветвей и ветви от источника тока с передачей, равной произведению передач ветвей —

Рис. 4-21.

Исключение потенциала в графе на рис. 4-17, в приводит к аналогичному результату, что непосредственно следует из сравнения графов рис. 4-17, в и рис. 4-21, б.

Таким образом, решение уравнений соответствует преобразованию соответствующих графов. Такие простейшие преобразования уравнений и графов показаны в табл. 4-1. Исключение неизвестных из системы уравнений автоматически приводит к исключению соответствующих узлов в графе.

Например, исключив из системы уравнений (4-17) или (4-18) для схемы рис. 4-20, а и графа, показанного на рис. 4-20, б, потенциал получим:

Этим уравнениям соответствует граф, изображенный на рис. 4-22, не имеющий узла с потенциалом При этом исключение второго узла привело к тому, что в узлах с потенциалами появились петли с перадачами, равными произведениям передач ветвей, которые

Таблица 4-1. Простейшие преобразования графов

непосредственно примыкают к первому и третьему узлам, а также изменились передачи ветвей между узлами .

Прежде чем перейти к расчету режимов в линейных цепях при помощи графов, необходимо дать определения: пути, передачи пути, контура и передачи контура в сигнальных графах.

Рис. 4-22.

Путь непрерывная последовательность ветвей (в указанном направлении), вдоль которой каждый узел встречается не более

одного раза; передача пути П — произведение передач ветвей вдоль этого пути (имеющего определенное направление); контур — простой замкнутый путь (имеющий определенное направление), который начинается и заканчивается в одном и том же узле и вдоль которого любой другой узел этого контура встречается не более одного раза за один обход контура; передача контура L — произведение передач ветвей в этом контуре.

В приведенных выше примерах были показаны некоторые преобразования графов, вытекающие преимущественно из простых преобразований системы контурных и узловых уравнений схемы. Поскольку метод графов может быть применен для анализа и других систем (не электрических), то рассмотрим еще один случай преобразования в более общей форме.

Рис. 4-23.

На рис. 4-23, а изображен граф с четырьмя ветвями и одним контуром. Исключая из этого графа узел с сигналом при помощи равенства , получаем для узлов уравнения

Этим уравнениям соответствует граф, приведенный на рис. 4-23, б. После подстановки значения из первого уравнения системы (4-22) во второе определяется сигнал

Таким образом, исключение петли приводит к графу (рис. 4-23, в) с одной ветвью, передача которой равна , где произведение равно передаче пути между узлами с сигналами а произведение равно передаче контура L.

Расчет коэффициента передачи при помощи графов. Прежде чем получить общую формуду для определения коэффициента передачи линейной электрической цепи произвольной конфигурации при помощи

графов, рассмотрим несколько достаточно общих примеров на определение коэффициента передачи.

На рис. 4-24 изображен четырехконтурный граф, часть узлов которого для упрощения обозначена цифрами, с контурными передачами: . Сигнал распространяется из узла Требуется определить коэффициент передачи

Для узлов 1, 2, 3, 4, 5, 6 справедливы уравнения

Рис. 4-24.

Искомый коэффициент передачи определим, постепенно исключив остальные неизвестные, начиная с из системы уравнений. Иначе говоря,

откуда

Затем из уравнения

определим

и т. д. В результате получим связь между в виде

откуда

Искомый коэффициент передачи

Числитель этого выражения равен произведению передачи пути на определитель который получается вычитанием из единицы передачи всех контуров, не касающихся пути с передачей и суммированием произведения контурных передач не касающихся друг друга контуров и и пути с передачей

Рис. 4-25.

Знаменатель в этом случае равен определителю графа рис. 4-24, который получается вычитанием из единицы всех передач контуров графа и суммированием с полученной разностью попарных произведений передач всех не соприкасающихся друг с другом контуров.

В качестве второго примера рассмотрим граф, показанный на рис. 4-25, для которого нужно найти коэффициент передачи сигнала из первого узла в шестой, т. е. найти отношение

Запишем уравнения для узлов 2, 3, 4, 5 и . Исключив из этих уравнений неизвестные сигналы в узлах графа, начиная от его конца, получим:

Поскольку то

Наконец,

или окончательно

Числитель полученного выражения (4-25) равен произведению передачи пути от узла к узлу на определитель на Поскольку путь с передачей проходит через все узлы схемы, то определитель числителя получается равным единице Знаменатель выражения (4-25) определяется аналогично знаменателю (4-24) и получается вычитанием передач всех трех контуров из единицы и суммированием с полученным выражением произведения передач двух несоприкасающихся контуров ).

При определении передачи от источника к любому узлу графа можно, не применяя преобразований, непосредственно пользоваться

общим решением уравнений, определяющих состояние системы. Однако, прежде чем дать общее решение этой задачи, рассмотрим еще граф в виде полного треугольника (рис. 4-26, а). Можно показать, что такой граф получается для электрической схемы, имеющей форму полного пятиугольника, у которого потенциал одного из четырех независимых узловых уравнений исключен.

Рис. 4-26.

Для этого графа справедливы уравнения

или

Определить любой из узловых сигналов, например , можно через определители:

где

В раскрытой форме определитель

    (4-30)

Из полученного выражения следует, что второе — девятое слагаемые представляют собой передачи всех восьми контуров, имеющихся в графе; остальные слагаемые (за исключением единицы) состоят из произведений передач контуров, не соприкасающихся друг с другом, т. е. не имеющих общих точек в графе. Отметим, что передачи всех контуров входят в выражение (4-30) с отрицательными знаками, а их попарные произведения — с положительными знаками. Последнее слагаемое, равное произведению передач трех несоприкасающихся контуров, имеет отрицательный знак. Особо подчеркнем, что произведения четного числа контурных передач всегда входит в определитель с положительными знаками, а нечетного — с отрицательными.

Определитель

где — передачи путей от источника сигнала в узел 2 (рис. 4-26, б); — определитель части графа, не касающейся пути с передачей поскольку путь с передачей проходит через все узлы схемы.

Обобщив результаты приведенных примеров, получим, что в общем случае коэффициент передачи графа определяется по формуле (Мезона)

где

— произведение передач контуров возможной комбинации несоприкасающихся контуров при При этом формула разложения определителя D (4-32а) может быть применена и для разложения миноров числителя (4-32) DK, что, в частности, непосредственно следует из (4-31) и подтверждается выражениями (4-24), (4-25).

Пример 4-12. Пользуясь графом (рис. 4-20, б), определить ток в сопротивлении 13 схемы, показанной на рис 4-20, а.

Решение. Так как в схеме два источника (э. д. с. и тока j), то для определения тока найдем потенциал пользуясь принципом наложения.

Потенциал создаваемый э. д. с. Е, определяется по формуле (4-32):

где передачи контуров графа

В числитель полученного выражения входит передача контура, не касающегося пути

Потенциал создаваемый источником тока J, находится по той же формуле (4-32):

где передача пути

Потенциал создаваемый обоими источниками,

Ток в сопротивлении очевидно, равен:

В заключение полезно подчеркнуть, что, пользуясь графами и формулой (4-32), можно во многих случаях сразу определить искомые величины, не решая совместно системы заданных уравнений электрического состояния той или иной цепи.