15-3. Приближенный метод определения оригинала по вещественной частотной характеристике (метод трапеций)

Для любой линейной электрической цепи по законам Кирхгофа можно составить систему интегро-дифференциальных уравнений описывающих процессы в этой цепи. То же самое можно сделать для любой динамической системы: электромагнитной, механической или электромеханической.

Рис. 15-7.

Рис. 15-8.

В электрических цепях и динамических системах любую величину можно рассматривать как входную и считать ее изменение во времени заданным. Любую другую величину можно рассматривать как выходную и определять ее изменение. Переходя в уравнениях, характеризующих эти системы, от оригиналов к изображениям, можно исключить изображения всех остальных величин, кроме входной и выходной . Как уже было указано выше, отношение переменных состояния цепи при нулевых начальных значениях называется передаточной функцией электрической цепи или системы

Например, легко найти передаточную функцию четырехполюсника, приведенного на рис. 15-7:

Пусть входная величина задана в виде единичного скачка (рис. 15-8). Тогда

Оригинал выходной величины (называемый, как было указано выше, временной функцией или временной характеристикой) обозначим для этого случая через

    (15-22)

Рассматривая здесь такие системы, для которых получаем:

Таким образом, изображением производной от временной характеристики системы является передаточная функция последней, Полагая в правой части (15-23) получаем, что связана с формулой обратного преобразования Фурье (15-10):

где частотная характеристика или спектральная функция системы; — амплитудно-частотная и — фазочастотная характеристики системы.

Разлагая по формуле Эйлера, получаем:

Модуль частотной характерно системы или ее амплитудно-частотная характеристика — всегда четная функция, а фазочастотная характеристика — всегда нечетная функция частоты .

Так, для цепи рис. 15-7

откуда

Докажем это для более общего случая, когда представляет собой частное от деления двух многочленов. Полагая убеждаемся, что вещественные части числителя и знаменателя будут содержать только четные, а мнимые — только нечетные степени . Поэтому , равная частному от деления квадратных корней из суммы квадратов Естественных и мнимых частей числителя и знаменателя, будет четной функцией , равная разности арктангенсов от отношений мнимой к вещественной части числителя и соответственно знаменателя, будет нечетной функцией частоты со. На основании сказанного заключаем, что подынтегральная функция второго интеграла — нечетная, а так как пределы этого интеграла равны по величине и противоположны по знаку, то этот

интеграл равен нулю. Подынтегральная функция первого инттеграла — четная. Поэтому

Но, во-первых, до момента в цепи не была запасена энергия и не действовали источники. Во-вторых, функция определяется, как оригинал, формулами обратного преобразования Лапласа (15-23) или Фурье (15-24) и в силу условий этих преобразовании как было указано выше, равна нулю при . Следовательно, заменяя на — из (15-25) получаем:

    (15-26)

Обозначим

следовательно,

где — вещественная, а — мнимая частотные характеристики системы. Заметим, что вещественная частотная характеристика — четная функция , а мнимая — нечетная. Из последнего соотношения следует, что передаточная функция может быть найдена, если задана какая-либо пара частотных характеристик: амплитудная и фазовая или вещественная и мнимая, Перепишем теперь (15-25) и (15-26):

    (15-27)

Складывая почленно последние равенства, получаем:

Наконец, интегрируя по и учитывая условие , находим что

    (15-28)

Полученное соотношение позволяет по вещественной частотной характеристике системы определить ее временную характеристику , т. е. переходный процесс при воздействии на систему единичного скачка напряжения.

Предположим теперь, что электрическая цепь при нулевых начальных условиях подключается к единичному напряжению и нужно определить ток в какой-нибудь ее ветви. Тогда, принимая за входную величину единичное напряжение, а за выходную — ток, заключаем из (15-20), что передаточной функцией системы будет взаимная операторная проводимость между включаемой ветвью и ветвью, где ищется ток. Соответствующую комплексную проводимость можно рассчитать или получить экспериментально, определяя порознь амплитудную и фазовую характеристики.

Рис. 15-9.

Рис. 15-10.

Зная , можно найти им соответствующие вещественную и мнимую частотные характеристики .

В случае сложной цепи, естественно, сложными функциями частоты будут . Поэтому рассмотрим приближенные метод определения тока при графически заданной вещественной частотной характеристике по формуле (15-28).

Пусть вещественная частотная характеристика имеет любую форму, но с ограниченным интервалом пропускания частот при Заменим заданную кривую другой кривой , достаточно мало отличающейся от первой и образованный прямолинейными отрезками, которые ограничены (рис. 15-9) точками

Проведем через эти точки прямые, параллельные оси абсцисс. Тогда кривая будет заменена суммой трапецеидальных характеристик (рис. 15-10) — трех для кривой на рис. 15-9. Такая замена позволяет составить таблицы расчета переходных процессов для ряда типовых трапеций, что существенно облегчает применение приближенного метода.

Так как , то

где достаточно мало отличается от

Выражение (15-29) показывает, что определение сводится к расчету ряда временных характеристик для отдельных трапеций.

Покажем, как найти оригинал

    (15-30)

по трапецеидальной частотной характеристике , определяемой следующими параметрами (рис. 15-11): начальной ординатой , интервалом пропускания или областью существенности частот и коэффициентом наклона

    (15-31)

где — интервал равномерного пропускания частот, на котором функция — постоянна.

Рис. 15-11.

Рассмотрим единичные трапецеидальные характеристики, для которых , а коэффициент наклона находится в пределах . Временная характеристика, соответствующая единичной трапецеидальной частотной характеристике с наклоном определяется так:

В таблице (см. приложение 4) даны функции Ли, вычисленные по формуле (15-32) для ряда значений к в пределах от 0 до 1.

Формула (15-32) может быть выведена, например, следующим образом Заменим вещественную частотную характеристику прямыми линиями и вычислим интеграл (15-28) по участкам. Для участка можем написать (рис. 15-12):

Интеграл (15-28)

Здесь означает функцию, называемую интегральным синусом:

    (15-34)

которая табулирована и может быть легко вычислена.

Разбивая вещественную частотную характеристику на ряд прямолинейных отрезков, можно вычислить переходный процесс как сумму интегралов вида (15-33). Применяя формулу (15-33) к единичной трапецеидальной характеристике, у которой и коэффициент наклона получим равенство (15-32). В самом деле, для этого достаточно для горизонтального участка единичной трапецеидальной характеристики (рис. 15-11) положить а для наклонного участка принять в результаты вычисления для обоих участков сложить

Рис. 15-12.

Для трапецеидальной характеристики с любыми нужно взять функцию по значению к (приложение 4), умножить на построить ее графически, приняв во внимание теорему подобия или теорему изменения масштаба времени т. е. учитывая, что значению функции в момент времени соответствует значение искомого оригинала в момент времени

В самом деле, если (15-28)

то по теореме подобия

    (15-35)

означает, что, например, при назначении масштаба кривой вдоль в раз масштаб кривой вдоль оси t уменьшается в раз, и наоборот.

Для доказательства заменим в (15 28) t на

В посчеднем интеграле сделаем замену переменных, введя новую переменную

Тогда

откуда сразу следует рассматриваемая теорема, если заменить снова на что всегда возможно, так как значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Рис. 15-13

Рис. 15-14

Например, для трапецеидальной частотной характеристики, имеющей , коэффициент наклона Из таблицы (см приложение 4) для и, например находим что соответствует времени .

В этот момент искомый оригинал Подобным же образом определяются оригиналы для всех трапецеидальных характеристик, на которые разлагается вещественная частотная характеристика Суммируя графически оригиналы s (t), получаем временную характеристику системы

Пример 15-3. На вход четырехполюсника (рис 15 7) включается постоянное напряжение . Вещественная частотная характеристика передаточной функции четырехполюсника построена по полученным экспериментально на рис 15 13 Найти методом трапеций напряжение на выходе четырехполюсника

Решение Разложение на две характеристики первую - треугольную и вторую — трапецеидальную показано на том же рис. 15-13, а сами характеристики приведены отдельно на рис. 15-14

Каждая из них характеризуется следующими данными

По таблице (см. приложение 4) находим функции для двух трапеций с различными и пересчитываем их и время , как было указано выше (табл 15-1)

Таблица 15-1

На рис 15-15 построены оригиналы, т. е. функции времени для каждой из двух трапеций. Сложив кривые получим временную характеристику процесса, т. е. напряжение на выходе четырехполюсника (рис 15-15)

Рис. 15-15.

Приближенный метод рассматривался при действии на входе системы единичного возмущения. Если же на входе системы действует возмущение, изображение которого , то согласно (15-20)

Тогда в соответствии с равенствами (15-23) и (15-24) имеем:

Введем обобщенную частотную характеристику системы:

которая учитывает как саму систему, так и внешнее воздействие. Так как внешнее воздействие известно, то известна и его частотная характеристика . Поэтому можно найти обобщенные амплитудную и фазовую характеристики системы: