25-6. Изображение переходных процессов на фазовой плоскости

В предыдущих параграфах определялись переходные процессы в нелинейных цепях, описываемых дифференциальным уравнением первого порядка.

С повышением порядка уравнения расчет существенно усложняется. Требуется применение новых методов расчета. Одним из таких методов является изображение переходных процессов в пространстве состояний или в фазовом пространстве.

Переходные процессы можно рассматривать в различных системах координат. До сих пор переходные процессы рассматривались в координатах i и t, Y и t, q и t или и и t. По оси абсцисс откладывалось время, а по оси ординат — исследуемая величина.

Однако те же явления исследуются и в другой системе координат.

Для переходного процесса, описываемого нелинейным дифференциальным уравнением порядка или нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка, всегда можно выбрать таких переменных, называемых координатами состояния, что система уравнений принимает вид:

    (25-34)

Здесь — координата состояния; — ее производная по времени; и, — внешнее воздействие на электрическую цепь; — некоторая нелинейная функция, в отличие от линейных цепей, где — линейная алгебраическая функция.

Решение уравнений (25-34) для этого случая рассматривалось в § 14-8.

Если электрическая цепь не подвержена каким-либо внешним временным воздействиям, то Для этого случая пространство остояний обычно называется фазовым пространством.

Наиболее широкое распространение изображения переходных процессов в фазовом пространстве полечило для систем ьторого порядка. В этом случае переходный процесс изображается на плоскости координат называемой фазовой плоскостью, некоторой кривой, которая лежит в области, ограниченной по обеим осям координат, а уравнения (25-34) приобретают вид;

    (25-35)

Исследование переходных процессов в электрических цепях на фазовой плоскости впервые было проведено академиками Л. И. Мандельштамом и И. Д. Папалекси и получило дальнейшее развитие в работах А. А. Андронова, С. Э. Хайкина, А. А. Витта и их учеников.

Изображение процессов на фазовой плоскости может дать представление о характере процесса без решения дифференциального уравнения в конечном виде.

При выборе фазовых координат для описания переходного процесса возможны различные варианты. Обычно отдается предпочтение такому выбору координат, при котором . В этом случае обычно обозначают и записывают уравнения (25-35) в виде

    (25-36)

Каждому состоянию цепи соответствует точка на фазовой плоскости, которую называют изображающей или представляющей точкой. Всякое изменение состояния цепи на фазовой плоскости изображается некоторой кривой, которую называют фазовой траекторией.

Если процесс описывается уравнениями (25-36), то в верхней полуплоскости и представляющая точка может перемещаться только направо — в направлении возрастающих значений Для нижней полуплоскости, наоборот, и представляющая точка может перемещаться только влево. Таким образом, движение представляющей точки происходит только по направлению движения часовой стрелки.

Если процесс описывается дифференциальным уравнением первого порядка, то все фазовые траектории лежат на одной кривой и представляющая точка может перемещаться только по этой кривой. Если процесс описывается дифференциальным уравнением второго порядка, то в зависимости от начальных условий представляющая точка может оказаться в любом месте фазовой плоскости.

Рассмотрим фазовые траектории простейших процессов в линейных и нелинейных цепях.

Пусть цепь с током переключается без разрыва тока к источнику постоянной э. д. с. с напряжения U (рис. 25-13, а). Тогда переходный процесс описывается дифференциальным уравнением

или при обозначении i через х, a di/dt через у уравнением

    (25-37)

На рис. 25-13, б изображена фазовая траектория переходного процесса в виде прямой, проходящей через точки Для верхней полуплоскости и, следовательно, представляющая точка перемещается в направлении возрастающих значений . Для нижней полуплоскости и представляющая точка перемещается в направлении отрицательных значении Точка равновесия А лежит на оси и соответствует установившемуся режиму.

Рис. 25-13.

В зависимости от начального значения тока (в момент фазовая траектория может начаться в различных точках прямой — в верхней или в нижней полуплоскости. С течением времени (вне зависимости от начальных условий) движение представляющей точки происходит в направлении точки А со скоростью, которая уменьшается по мере приближения к точке А. Если цепь замыкается накоротко то фазовая траектория проходит через начало координат (на рис. 25-13, б изображена пунктиром).

Аналогичные фазовые траектории получаются и для переходных процессов в цепях , рассмотренных в § 13-6 и 13-7.

Ести индуктивность нелинейна и характеризуется графиком или то, полагая получаем нелинейное уравнение

    (25-38)

которое выражает на фазовой плоскости все возможные переходные процессы в схеме на рис. 25-1. Фазовые траектории для данного случая показаны на рис. 25-14.

В цепи (рис. 25-15, а) фазовые траектории переходных процессов сложнее. Рассмотрим случай, когда а индуктивность и емкость соединены последовательно и подключаются к источнику постоянного напряжения U. Начальные значения тока в индуктивности и напряжения на емкости могут быть любые.

Дифференциальное уравнение переходного процесса в этом случае известно (§ 13-9):

Обозначая получаем:

или после интегрирования

    (25-40)

где k — постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.

Уравнение (25-40) на фазовой плоскости изображается семейством эллипсов (рис. 25-15, б), причем вертикальные оси эллипсов равны а горизонтальные . Полученные эллипсы соответствуют незатухающим синусоидальным колебаниям.

Рис. 25-14.

Рис. 25-15.

Амплитуда колебаний тока равна полуоси эллипса, направленной по оси абсцисс, а частота равна отношению вертикальной полуоси к горизонтальной.

Так как при задано то фазовая траектория проходит через точку с координатами а амплитуда колебаний тока

В реальном колебательном контуре всегда есть некоторые потери и сопротивлением нельзя пренебречь. За период колебаний амплитуда тока уменьшается и фазовые траектории имеют вид спиралей, завивающихся вокруг начала координат.

Так как за один период колебаний в контуре теряется энергия

а общая энергия, запасенная в контуре, , причем , то отношение радиусов двух соседних витков равно:

    (25-42)

Полученное выражение справедливо только при когда при подсчете потерь AW можно пренебречь уменьшением амплитуды колебаний за один период. В общем случае колебательный процесс описывается уравнениями (13-55) и (13-56), которые являются параметрическими уравнениями спирали. Отношение представляет собой величину, обратную декременту колебания (см. § 13-12).

По мере увеличения сопротивления шаг спирали увеличивается и при семейство спиралей вырождается в семейство параболических кривых, проходящих через начало координат.

Фазовые траектории при изображены на рис. 25-15,б и г.

Если сопоставить фазовые траектории для трех различных значений (рис. 25-15), то можно отметить некоторые общие свойства этих кривых. Все кривые пересекают ось под прямым углом с переменой знака . Во всех трех рассмотренных случаях имеется только одна точка равновесия, лежащая в начале координат, однако характер равновесия различный.

При равновесие наименее устойчивое. Достаточно бесконечно малого отклонения от точки равновесия, чтобы начался незатухающий колебательный процесс с бесконечно малой амплитудой колебания. При этом представляющая точка совершает периодические движения по орбите с центром в точке равновесия. Точка равновесия такого типа называется центром.

При все процессы, возникающие в цепи, — колебательные затухающие и представляющая точка после любого принужденного отклонения от равновесия возвращается в исходное положение равновесия, совершая при этом несколько оборотов вокруг точки равновесия. Такого рода точка равновесия называется устойчивым фокусом.

Если то представляющая точка, возвращаясь апериодически в состояние равновесия, движется по параболе и не совершает более полуоборота вокруг начала координат. Точка равновесия такого типа называется устойчивым узлом.

При построении фазовых траекторий процессов, описываемых Дифференциальным уравнением второй степени, удобно пользоваться методом изоклин. Изоклиной называется геометрическое

место точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым (возможным фазовым траекториям) имеют одинаковый наклон. Если известно семейство изоклин, то фазовые траектории могут быть построены геометрическим путем без дополнительного анализа.

Пример 25-3. Построить фазовые траектории цепи при (рис 25-15, а) методом изоклин.

Решение. Дифференциальное уравнение цепи (см. § 13-9)

Обозначив и применив ранее принятые обозначения получаем:

    (25-44)

Если заменить через исключив в Уравнении (25-44), получим:

Так как во всех точках изоклин должно выполняться равенство

то уравнением изоклины является

Изоклины представляют собой семейство лучей, проходящих через начало координат. Наклон этих лучей зависит от параметров контура и наклона 0 касательных к интегральным кривым в точках их пересечения с данной изоклиной.

Из последнего уравнения следует, что ось является изоклиной с а ось у совпадает с изоклиной Уравнение изоклины называемой изоклиной горизонтальных касательных, имеет вид: следовательно, она лежит во втором и четвертом квадрантах.

Полагая где — целое число, получим семейство изоклин, представленных на рис. 25-16. Здесь короткими штрихами показан наклон интегральной кривой к изоклинам.

Проводя интегральные кривые так, чтобы они пересекли каждую изоклину под соответствующим углом, получаем фазовые траекторий переходных процессов. На рис. 25-16 показаны две фазовые траектории для разных начальных условий (точки ).

Рис. 25-16.

Зная фазовые траектории, т. е. имея зависимость

    (23-47)

можно путем графического интегрирования найти соответствующие зависимости (1) в обратном виде:

Затруднение при вычислениях интеграла (2-48) вблизи точек связанных с обращением подынтегральной функции в бесконечность, можно обойти, заменяя участок фазовой траектории дугой окружности с центром, лежащим на , и производя аналитическое интегрирование.