19-8. Многократные отражения волн с прямоугольным фронтом от активного сопротивления

Включение источника. Для исследования многократных отражений волн при наличии поглощения энергии на концах линии Рассмотрим включение линии, замкнутой на приемник с активным сопротивлением Пусть питающий генератор имеет чисто активное внутреннее сопротивление и э. д. с. .

Вычислим коэффициенты отражения в начале и конце линии:

    (19-34)

Первая прямая волна в соответствии с § 19-4 имеет напряжение а первая отраженная обратная волна в соответствии с § 19-6 — напряжение .

Аналогично определяются отраженные волны

Таким образом, для волны

    (19-35)

а для k + 1-й соответственно

    (19-36)

Наложение этих волн дает значение напряжений (и токов) в любой момент времени.

Пример 19-8. Найти распределение напряжения и тока в линии с волновым сопротивлением подключаемой к генератору с постоянным напряжением (внутреннее сопротивление Сопротивление нагрузки

Решение По формулам (19-34) получаем Рассмотрим систему многократных отражений волн от начала и конца линии и результаты запишем в виде табл. 19-1, где обозначают напряжение и ток в начале линии, а — в конце линии.

Таблица 19-1

Пример 19-9. То же, что в предыдущем примере, но сопротивление

Решение. В этом случае из формул (19-34) получаем

Аналогично предыдущему, рассматривая систему многократных отражений, можно решение задачи записать в виде табл. 19-2

Таблица 19-2

На рис. 19-25, а и б показано изменение тока поступающего в линию от источника, в зависимости от времени для двух случаев, рассмотренных в примерах 19-8 и 19-9: а) На тех же рисунках показано тонкими линиями изменение напряжения в конце линии.

Рис. 19-25.

Повышение напряжения в сравнении с установившимся значением наблюдается, только когда и наибольшее значение напряжения получается, когда первая волна дошла до конца линии.

В случае напряжение и ток совершают колебания вокруг некоторых установившихся значений напряжения и тока приближаясь с течением времени к этим значениям. Про

При что соответствует холостому ходу колебания не затухают. Период таких колебаний . На рис. 19-26 показано, как при этом изменяются ток в начале линии и напряжение в конце линии.

Время Т называется периодом собственных колебаний длинной линии, а — ее собственной частотой:

В реальных линиях и колебания всегда затухают В случае напряжение и ток апериодически нарастают до установившихся значений

Если сопротивление равно нулю, то и каждая волна, приходящая к началу линии, увеличивает ток на График изменения тока в начале линии для этого случая представлен на рис. 19-27. При (т. е. при бесконечно мощном источнике) и при отсутствии потерь ток в линии возрастал бы до бесконечности.

Рис. 19-26.

Рис. 19-27.

В реальных линиях скачки тока постепенно уменьшаются, и он приближается к некоторому предельному значению — току короткого замыкания линии.

При приближенном рассмотрении реальных линий с потерями сопротивление проводов гл может быть условно разделено пополам и отнесено: — к началу линии; — к ее концу. Эти сопротивления могут быть при расчетах включены в

Включение нагрузки. Если линия, заряженная до напряжения разряжается с одного из концов на сопротивление (рис. 19-28), то изменение напряжения и тока в линии может быть определено аналогично предыдущему.

Так как напряжение на рубильнике перед его включением равно — то в соответствии с § 19-4

Находим коэффициенты отражения для начала и конца линии в соответствии с (19-34):

Тогда

Учитывая равенство можно заметить, что каждая последующая обратная волна тока компенсирует предыдущую прямую волну и ток в начале линии всегда равен току последней прямой волны.

Рис. 19-28.

Ток в сопротивлении по абсолютному значению такой же и противоположен по знаку.

Таким образом, ток в сопротивлении

а напряжение

На рис. 19-28, а - в показаны кривые изменения во времени для случаев: а) . В первом случае напряжение и ток уменьшаются скачкообразно через каждые секунд, не изменяя знака; во втором случае и эти изменения знакопеременные. Если же то первая прямая волна снимает с линии половину напряжения, а первая обратная волна — вторую половину и процесс заканчивается через секунд. Все это напоминает случаи апериодического, колебательного и предельно апериодического разрядов конденсатора.

Последний случай имеет большое практическое значение так как аналогичный принцип применяется в радиотехнике для получения импульсов прямоугольной формы, продолжительность которых зависит от длины линии.

Выше были рассмотрены некоторые простейшие примеры многократных отражений волн от концов линии. Во всех примерах прямая и обратная волны представлялись как результат наложения многократно отраженных волн. Те же результаты можно получить если рассматривать только результирующие значения прямой и обратной волн непосредственно, анализируя уравнения (19-9) и граничные условия на концах линии. Такой метод позволяет свести задачу к решению уравнений в конечных разностях, что упрощает расчет сложных случаев многократных отражений волн.