3-6. Сложение синусоидальных функций времени

При исследовании цепей синусоидального тока приходится алгебраически суммировать гармонические функции времени одинаковой частоты, но с различными амплитудами и с различными начальными фазами. Непосредственное суммирование гармонических функций времени связано с трудоемкими и громоздкими тригонометрическими преобразованиями. Значительно проще эта задача решается графически при помощи векторной диаграммы или аналитически путем суммирования комплексных амплитуд.

Пусть требуется найти сумму двух гармонических функций времени .

Сначала рассмотрим решение, выполняемое при помощи векторной диаграммы.

Отложим векторы и графически определим вектор равный геометрической сумме векторов (рис. 3-5). Эта векторная диаграмма построена для случая, когда

Рис. 3-5.

Представим себе, что векторы с момента начинают вращаться вокруг начала координат О против направления движения часовой стрелки с постоянной угловой скоростью со. Проекция вращающегося вектора на вертикальную ось NN в любой момент времени равна сумме проекций на эту же ось вращающихся , т. е. мгновенных величин Следовательно, проекция вектора на вертикальную ось равна искомой сумме Их а вектор изображает искомую синусоидальную функцию времени .

Таким образом, определив из диаграммы длину вектора и угол можем написать выражение искомой величины .

Теперь перейдем к аналитическому методу. Рассматривая векторы как комплексные амплитуды, на основании выполненного построения (рис. 3-5) можно написать:

Чтобы произвести суммирование комплексных чисел, их надо представить в алгебраической форме:

Осуществляя суммирование, получаем:

где

Отсюда находим:

Так как то для определения нужно еще знать, в какой четверти располагается вектор Это легко устанавливается по знакам вещественной и мнимой частей . В расчетах для удобства начальную фазу выражают не в радианах, а в градусах.

Рассмотренные способы можно применить для сложения любого числа синусоидальных функций времени одинаковой частоты.

Обычно при расчетах цепей синусоидального тока необходимо знать только действующие величины для синусоидальных функций времени и их сдвиг по фазе друг относительно друга. В этих случаях при построении векторных диаграмм нужно точно соблюдать углы сдвига фаз между векторами, а положение осей координат можно выбрать произвольно или оси совсем не изображать. Кроме того, длины векторов часто берут равными не амплитудным, а действующим величинам.

Соответственно при аналитическом расчете начальные фазы можно изменить на один и тот же угол, например так, чтобы начальная фаза одной из рассматриваемых функций стала равной нулю. Вместо комплексных амплитуд часто берут значения в раз меньшие, так называемые комплексные действующие величины:

Пример 3-3. Даны токи . Определить ток , равный разности токов

Решение.

Следовательно, .