17-2. Передаточная функция четырехполюсника. Цепи минимальной фазы

Для четырехполюсника передаточная функция может быть например, задана как отношение лапласовых изображений выходного и входного напряжений, т. е.

Полагая получаем передаточную функцию в комплексной форме, т. е. частотную характеристику четырехполюсника, которая равна отношению частотных спектров выходного и входного напряжений.

Составим отношение напряжений и четырехполюсника Из второго уравнения (8-2) при положительном направлении тока как на рис 17-1, имеем

При сопротивления нагрузки

так как откуда определяем:

В гл 14 было показано, что сопротивления ветвей, а также входные и взаимные проводимости в операторной форме представляют собой отношения многочленов относительно (иначе говоря, рациональные дроби). Поэтому передаточная функция также представляется отношением многочленов

где — целые положительные числа, причем

Обозначим полюсы , т. е. корни знаменателя (17-4), через а нули , т. е. корни ее числителя, через и перепишем

Для частотной характеристики будем иметь:

Вводя амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики четырехполюсника, получаем для

Выясним свойства передаточной функции по расположению ее полюсов и нулей на комплексной плоскости.

Отметим, что при учете активных сопротивлений четырехполюсника или приемника все корни знаменателя т. е. все полюсы лежат в левой полуплоскости Выше уже обращалось внимание на то, что при учете активных сопротивлений все корни характеристического уравнения вещественные и отрицательные или, если они комплексные, то у них отрицательные вещественные части. Только при этих условиях все свободные составляющие токов и нанряжений затухают. При отсутствии активных сопротивлений все корни знаменателя будут чисто мнимыми.

Иначе обстоит дело с нулями , т. е. с корнями его числителя . При учете активных сопротивлений они могут располагаться в любой части комплексной плоскости (их положение никак не связано с характером изменения во времени свободных составляющих токов и напряжений). При отсутствии активных сопротивлений все корни числителя (как и знаменателя) расположатся на мнимой оси.

Рассмотрим амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики при изменении частоты от до Это удобно сделать при помощи рис. 17-2, на котором показаны пара нулей и пара полюсов передаточной функции, расположенных в левой полуплоскости. Модули выражений геометрически представляют собой расстояния от нулей и полюсов точки М, перемещающейся по мнимой оси снизу вверх, что соответствует вменению частоты от до Аргументы выражений обозначены соответственно на рис. 17-2 буквами .

Рисунок 17-2 показывает, что если ни один не лежит на мнимой оси, т. е. если четырехполюсник имеет активные сопротивления, то ни один из

модулей а значит и , не обращается в нуль при изменении от до так как

Физически это означает, что если на вход четырехполюсника подано напряжение, то при любой частоте со на выходе будет какое-то напряжение Это утверждение справедливо, если ни одна ветвь между зажимами выхода не является чисто реактивной.

Рисунок 17-2 показывает также, что если ни один из полюсов не лежит на мнимой оси, то ни при какой частоте не обращается в бесконечность Как следует из (17-3), обращение в бесконечность означало бы, что при входной напряжении, равном нулю, на выходе могло бы быть некоторое конечное напряжение. Но при учете активных сопротивлений четырехполюсника и при отсутствии напряжения на его входе не будет напряжения и на его выходе.

Вообще говоря, если корни числителя и знаменателя расположены в левой или правой полуплоскости, но вблизи мнимой оси (рис. 17-2), то при прохождении точки вблизи нулей функция будет иметь минимумы, а при прохождении М вблизи полюсов функция будет иметь максимумы.

Рис. 17-2.

Вблизи точек, где расположены минимумы (максимумы) , фазовая характеристика увеличивается (уменьшается) на самом деле, рис 17-2 показывает, что если точка L — нуль , то при движении из точки М в М" аргумент увеличится почти на

Если же L — полюс , то, поскольку двучлен — рпсо) относится к знаменателю , приращение будет равно , т. е. при прохождении точки М вблизи максимума аргумент уменьшится на .

При перемещении хотя бы одного нуля из левой в правую полуплоскость в симметричное положение относительно мнимой оси (из точки L в точку V) амплитудно-частотная характеристика не изменятся, а фазочастотная изменится, так как теперь при прохождении точки М вблизи U приращение аргумента будет равно не а . Значит, одной и той же амплитудно-частотной характеристике соответствуют две различные фазочастотные характеристики . Так как в общем случае, например для цепей с распределенными параметрами, число нулей у функции может быть бесконечно велико, то при поочередном перемещении всех их из левой полуплоскости в симметричное положение на правой полуплоскости амплитудно-частотная характеристика будет оставаться неизменной, а фазочастотная характеристика при перемещении каждого из нулей будет иной Следовательно, одной и той же амплитудно-частотной характеристике в общем случае может соответствовать бесконечное число фазочастотных характеристик.

Рисунок 17-3 показывает, что при переходе любого нуля из левой полуплоскости в правую аргумент двучлена увеличивается при положительном значении частоты (см. последовательные положения точек ).

Следовательно, при сумма аргументов двучленов когда они лежат в правей полуплоскости, больше, чем при расположении нулей в левой полуплоскости. Более подробное исследование показывает,

что из бесконечного числа фазочастотных характеристик, соответствующих одной заданной амплитудно-частотной характеристике, минимальное значение аргумента в при любом выбранном положительном значении частоты будет в том случае, когда все нули расположены в левой полуплоскости В соответствии с этим электрические цепи, все нули передаточной функции которых лежат в левой полуплоскости и, значит, аргумент имеет наименьшее возможное значение, называются минимально фазовыми цепями Если хотя бы один нуль передаточной функции электрической цепи расположен в правой полуплоскости, она называется не минимально фазовой цепью

Рис. 17-3.

Из сказанного вытекает, что для не минимально-фазовых цепей однозначной связи между не существует Как было указано, причиной этого является расположение хотя бы одного нуля функции в правой полуплоскости А так как все нули функции для минимально фазовых цепей расположены в левой полуплоскости, то для них фазочастотная характеристика может быть однозначно определена по амплитудно-частотной

Выше (см § 15-3) были получены соотношения (15-26) и (15-27) Они косвенно подтверждают, что между амплитудно-частотной и фазочастотной , а также между вещественной и мнимой частотными характеристиками электрической цепи при некоторых условиях может быть определенная связь, так что, зная одну из них, можно найти другую, и наоборот Выражения (15-26) и (15-27) можно рассматривать как особого рода интегральные уравнения, из которых, зная , можно найти , а также, зная можно найти , и наоборот

Рис. 17-4

Наконец, из сказанного вытекает, что две электрические минимально-фазовые цепи, имеющие одинаковые амплитудно-частотные характеристики, имеют одинаковые фазочастотные характеристики Такого утверждения нельзя сделать для не минимально-фазовых цепей

Пример 17-1. Определить передаточную функцию цепи рис 17-4 Решение Составим изображения тока (опуская аргумент )

и напряжения на выходе

Передаточная функция

Функция имеет нуль при , т. е. он лежит в левой полуплоскости, поэтому цепь рис 17-4 минимально-фазовая.

Пример 17-2. Определить передаточную функцию цепи рис. 17-5, называемой фазовращателем на том основании, что при изменении частоты входного напряжения и неизменной его амплитуде величина выходного напряжения остается неизменной, а фаза изменяется.

Решение. Найдем изображения токов :

Определим изображения потенциалов точек :

Найдем изображение выходного напряжения

Тогда

Функция имеет нуль при , т. е. в правой полуплоскости, и фазовращатель является примером не минимально-фазовой цепи.

Далее

и

т. е. цепь по рис. 17-5 действительно фазовращатель ее амплитудно-частотная характеристика не зависит от частоты, а фазочастотная характеристика от частоты зависит.

Рис. 17-5.

Рис. 17-6.

Пример 17-3. Найти передаточную функцию цепи рис. 17-6. Решение. Найдем изображения токов

Определим изображения потенциалов точек

и изображение выходного напряжения

Тогда

Нуль расположен в точке т. е. в правой полуплоскости, рассматриваемая цепь не минимально-фазовая

Упомянем, наконец, о цепи, которая является так называемым запаздывающим звеном, встречающимся, например, в системах автоматического управления. Ее передаточная функция

Амплитудно-частотная характеристика цепи постоянна и никак не зависит от фазочастотной Таким образом, запаздывающее звено также является примером не минимально-фазовой цепи.