13-15. Включение пассивного двухполюсника на непрерывно изменяющееся напряжение (формула или интеграл Дюамеля)

Пусть к источнику непрерывно изменяющегося напряжения и (рис. 13-27) подключается произвольный пассивный линейный двухполюсник (рис. 13-28). Требуется найти ток или напряжение в любой ветви двухполюсника после включения рубильника.

Рис. 13-27.

Рис. 13-28.

Задачу решим в два приема. Сначала найдем искомую величину при включении двухполюсника на единичный скачок напряжения (т. е. когда включаемое напряжение постоянно и по величине равно единице). Эти ток или напряжение могут быть выражены так:

Функция , численно равная току, называется переходной проводимостью, а функция , численно равная напряжению, называется переходной функцией напряжения.

Обе эти функции называются временными функциям и или временными характеристиками и часто обозначаются через

Например, для цепи переходная проводимость

и для цепи r, С переходная функция напряжения на емкости

Переходную проводимость и переходную функцию напряжения при любой схеме пассивного двухполюсника можно найти классическим методом (или операторным методом, или методом интеграла Фурье — см. ниже). Таким образом, в дальнейших расчетах будем считать известными.

Так как включается пассивный двухполюсник, то при t токи и напряжения в любой ветви равны нулю. Поэтому при t q следует считать любую переходную проводимость и любую переходную функцию напряжения

Все дальнейшие рассуждения проведем для случая, когда нужно рассчитать ток.

Непрерывно изменяющееся напряжение и заменим ступенчатой функцией с элементарными прямоугольными скачками Ди Тогда процесс изменения напряжения можно представить как включение при постоянного напряжения и (0), а затем как включение элементарных постоянных напряжений Ли, смещенных друг относительно друга на интервалы времени и имеющих знак плюс или минус, смотря по тому, рассматривается возрастающая или падающая ветвь заданной кривой напряжения.

Составляющая искомого тока в момент t от постоянного напряжения и (0) равна и (0) g (t). Составляющая тока в момент t от элементарного скачка напряжения Ли, включаемого в момент времени (рис. 13-27), равна . Здесь аргументом переходной проводимости служш время , поскольку элементарный скачок напряжения Ли начинает действовать на время позднее включения рубильника или, иначе говоря, поскольку промежуток времени между моментом начала действия этого скачка и моментом времени t равен .

Элементарный скачок напряжения Ли может быть выражен следующим образом (рис. 13-27):

Поэтому искомая составляющая тока

Элементарные скачки напряжения включаются на интервале времени от до момента t, для которого определяется искомый ток. Поэтому, суммируя составляющие тока от всех скачков, переходя к пределу при и учитывая составляющую тока от начального скачка напряжения и (0), получаем:

    (13-74)

Последняя формула для определения тока при непрерывном изменении приложенного напряжения называется формулой или легралом Дюамепя Выражение называют первой формой записи формулы Дюамеля.

Из теории определенных интегралов известно, что для любых двух функций существует соотношение

    (13-75)

которое легко проверить заменой переменной интегрирования.

На основании (13-75) перепишем выражение (13-74) и получим вторую форму записи формулы Дюамеля:

где производная функция по ее аргументу или, что то же самое, ее производная по

Интегрируя по частям в правой части равенства (13-74), получаем:

где — производная функция по ее аргументу или, что тоже самое, ее производная по

Подставляя значение полученного интеграла в правую часть равенства (13-74), получаем третью форму записи формулы Дюамеля:

Применяя формулу (13-75) к интегралу правой части последнего выражения, получим четвертую форму записи формулы Дюамеля:

Далее легко видеть, что выполнением дифференцирования выражение

приводится к первой или второй формам Оно представляет собой пятую форму записи формулы Дюамеля. Наконец, шестая форма записи формулы Дюамеля

выполнением дифференцирования приводится к третьей или четвертой формам.

Ту или иную из полученных первых четырех форм выбирают, руководствуясь удобством и простотой выполнения вычислений. Следует отдать предпочтение из первых четырех форм записи формулы Дюамеля, для которой будет проще подынтегральное выражение и которая имеет меньше слагаемых, что зависит от условий конкретной задачи.

Кроме того, если напряжение, воздействующее на цепь, изменяется с нуля, то первые слагаемые в первой и второй формах записи формулы Дюамеля равны нулю и их выражения несколько упрощаются. Если в ветви, которой определяется ток, последний не может изменяться скачком, то этом первое слагаемое в третьей и четвертой формах записи формулы Дюамеля Р в но нулю, поэтому они также несколько упрощаются.

Пятая и шестая формы представляют собой сокращенную завись, первой или второй и соответственно третьей или четвертой форм.