Глава четырнадцатая. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

14-1. Применение преобразования Лапласа к расчету переходных процессов

Классический метод расчета переходных процессов требует общем случае многократного решения систем алгебраических Равнений для определения постоянных интегрирования по начальным условиям и для нахождения начальных значений функции и ее производных, что и представляет собой основную трудность расчета этим методом.

Так как дифференциальные уравнения переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами представляют собой линейные уравнения с постоянными коэффициентами, то их можно интегрировать также операторным методом, основанным на преобразовании Лапласа. Это было впервые показано русским математиком М. Е. Ващенко-Захарченко в его монографии «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений» (Киев, 1862). В конце XIX в. английский ученый О. Хевисайд независимо пришел к операторному методу и впервые применил его к расчету электромагнитных переходных процессов. Однако Хевисайд не приводил математических обоснований метода. Дальнейшему развитию операторного исчисления способствовали своими трудами советские и зарубежные ученые В. С. Игнатовский, Д. Р. Карсон, Б. Ван-дер-Поль, А. М. Эфрос, А. М. Даниловский, К. А. Круг, А. И. Лурье и др.

М. Е. Ващенко-Захарченко показал также, что операторный метод применим не только к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами и их системами, но также к линейным уравнениям с переменными коэффициентами и к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами в частных производных, т. е. говоря на языке электротехники, к расчету переходных процессов в цепях с распределенными параметрами.

Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой заданной однозначной ограниченной функции вещественной переменной (например, времени t), называемой оригиналом, удовлетворяющей условиям Дирихле на любом конечном промежутке времени и равной нулю при , сопоставляется функция комплексного переменного называемая изображением.

Напомним, что условия Дирихле заключаются в том, что любом конечном промежутке функция должна быть или непрерывной, или иметь конечное число разрывов непрерывности первого рода, и, кроме того, должна иметь на этом же промежутке конечное число максимумов и минимумов.

Это сопоставление производится по формуле

которая представляет собой прямое преобразование Лапласа над функцией и обозначается так:

где называется Лапласовым изображением функции

Обратно, если нужно по имеющемуся изображению наитя оригинал , то это может быть выполнено в общем случае при

помощи обратного преобразования Лапласа (интеграла Бромвича)

которое представляет собой решение интегрального уравнения относительно неизвестной функции и может быть получено методами теории функций комплексного переменного. Интеграл (14-2) вычисляется по прямой на плоскости комплексного переменно параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особенностей (в частности, простых и кратных полюсов) функции .

Интеграл (14-2) обозначается еще так:

Иногда изображение функции определяется несколько иначе:

Последнее выражение называется прямым преобразованием Карсона — Хевисайда.

Очевидно,

Основным преимуществом изображения функции по Лапласу является очень простая связь его с частотным спектром функции (см. гл. 15). В случае применения преобразования Карсона — Хевисайда эта связь сложнее, но изображением постоянной величины является она сама, так что с точки зрения физики оригинал и изображение имеют одинаковые размерности.

В дальнейшем будем пользоваться преобразованием Лапласа.

Переходные процессы, как было показано в гл. 13, описываются системой интегродифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для преобразования их по Лапласу в соответствии с формулой (14-1) приходится находить изображения производных и интегралов от оригинала. При этом оказывается, что изображения производных и интегралов от оригинала выражаются алгебраическими функциями от изображения и начальных значений самой Функции, ее производных и интегралов. Поэтому система интегродифференциальных уравнений относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений относительно их изображений, т. е. производится алгебраизация исходной системы интегродифференциальных уравнений.

При решении полученной системы алгебраических уравнений определяются изображения искомых функций, а затем при помощи обратного преобразования, вытекающих из него формул или специальных таблиц — оригиналы, т. е. искомые функции времени.

Ряд таких функций и их изображений приведен в приложении 2 Подробные таблицы оригиналов и соответствующих им изображений приводятся в справочниках. В наиболее полном из них, составлен ном В. А. Диткиным и П. И. Кузнецовым, содержится свыше 1500 оригиналов и изображений по Карсону — Хевисайду.

Необходимость вычисления постоянных интегрирования по начальным условиям отпадает, поскольку все начальные условия учитываются при переходе от системы интегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений.

Приведем (без вывода) формулы для изображений производных и интегралов от оригинала. Если

то

Отметим, что если функция и ее производные при изменяются скачком, то в (14-4) и (14-5) нужно подставлять их значения с учетом этих скачков, т. е. справа от нуля, что и отмечено в их аргументах знаком

Если начальные значения функции и ее производных при равны нулю, то изображения первой и последующих производных находятся особенно просто:

Изображения интегралов от оригинала имеют вид:

Если интеграл при изменяется скачком, то нужно

брать его значение справа от нуля, что и обозначено в его верхнем пределе знаком

Итак, если начальные (т. е. при или в случае скачков при ) значения функции, ее производных и интегралов равны нулю, то величину можно рассматривать как оператор; умножая на оператор изображение данной функции, получаем изображение ее производной (14-6), деля на оператор изображение этой функций получаем изображение ее интеграла (14-7).

Нужно всегда иметь в виду, что при расчете переходных процессов операторным методом необходимо не только находить изображения функций, их производных и интегралов, но и решать обратную задачу находить функции (оригиналы) по их изображениям. Для этого, как указывалось, можно пользоваться таблицей, приведенной приложении 2, или справочником. Однако могут встретиться изображения, для которых оригиналы неизвестны и само их отыскание является весьма трудной задачей. В таких случаях можно пользоваться приближенными (численными) методами отыскания оригинала по изображению.

Часто изображение имеет вид рациональной дроби

при причем дробь несократимая, т. е. многочлены общих корней не имеют, и — вещественные числа.

Оригинал изображения (14-9) можно найти по формуле, называемой теоремой разложения:

которая представляет собой сумму вычетов подынтегральной функции выражения (14-2) относительно всех ее полюсов здесь — простые корни характеристического уравнения причем один из них может равняться нулю.

Часто встречается другая форма записи разложения, применяющаяся в том случае, когда в составе знаменателя (14-9) есть множитель , т. е. знаменатель (14-9) имеет один нулевой корень. Необходимо найти оригинал для изображения , где в составе ) уже нет множителя . Предполагая, что уравнение имеет различных и не равных нулю корней получим другую форму теоремы разложения:

Если уравнение имеет комплексные сопряженные корни, то нет необходимости вычислять слагаемые суммы, стоящей в правых частях равенств (14-10) или (14-11) для каждого из комплексных сопряженных корней в отдельности. Известно, что функции вещественными коэффициентами от комплексных сопряженных значений независимого переменного — сами комплексно сопряженные. Поэтому, если корни — комплексные и сопряженные то достаточно вычислить слагаемое сумм (14-10) или (14-11) только для корня а для корня взять значение, сопряженное этому слагаемому.

Если среди корней многочлена есть кратные, то можно записать теорему разложения аналогично формулам (14-10) или (14-11), но с двойной суммой в правой части (одна сумма по числу корней, а вторая — для каждого корня по порядку его кратности) Однако эта формула довольно сложна и здесь не приводится.

Если изображение наряду с простыми полюсами в точках имеет, например, еще один полюс кратности в точке , т. е.

то, применяя формулу вычета в кратном полюсе, получаем:

    (14-12)

Это соотношение позволяет учесть кратные корни характеристического уравнения. Если кратных корней несколько, то для каждого из них нужно записать слагаемое, аналогичное второму слагаемому в правой части последнего равенства.

Если нужно вычислить начальное (при ) и установившееся (при ) значения оригинала, т. е. можно, конечно, пользоваться формулами (14-10) или (14-11). Однако начальное и установившееся значения оригинала в случае, когда установившийся процесс непериодический, определяются гораздо проще по так называемым предельным соотношениям:

    (14-13)

и

    (14-14)

Дополнительно отметим, что теорема разложения применима не только к рациональным дробям, но и когда содержат трансцендентные, например экспоненциальные, круговые и гиперболические функции.