17-4. Реактивные двухполюсники

В частном случае реактивных двухполюсников входные функции — положительные вещественные и обладают рядом дополнительных свойств.

1. В соответствии со сказанным выше степени пит полиномов числителя и знаменателя в (17-5) не должны разниться больше чем на единицу. Но в данном частном кроме того, степень каждого из последующих членов меньше степени предыдущего на две единицы.

Для доказательства этого положения выразим входной ток реактивного двухполюсника через его входное напряжение пользуясь методом контурных токов (§ 1-8):

    (17-12)

где — входное сопротивление двухполюсника; D — определитель цепи, состоящей из контуров (и, следовательно, имеющий строк и столбцов), а — его алгебраическое дополнение, т. е. определитель порядка.

В каждом элементе D и содержатся (в случае реактивного двухполюсника) реактивнее сопротивления вида

и

т. е. в каждом элементе определителя есть мнимый множитель и вещественный (записан в скобке) Вынесем за скобки из всех элементов определителей тогда получим:

или

    (17-13)

где — вещественные.

Элементы этих определителей имеют вид:

Раскрывая определители и группируя в них члены с одинаковыми степенями получаем в числителе и знаменателе полиномы вида

откуда и следует утверждение, что для реактивного двухполюсника, в каждой ветви которого имеются L и С, наивысшие степени полиномов числителя и знаменателя разнятся на единицу и что степень у каждого из последующих членов полиномов числителя и знаменателя меньше, чем у предыдущего, на две единицы.

Переписывая (17-14) в операторной форме и вводя вместо получаем:

Находя корни полиномов числителя и знаменателя относительно и обозначая их для числителя и Для знаменателя, получаем:

    (17-15)

Полагая получаем формулу, известную под названием теоремы Фостера. При значениях равных корням знаменателя, будем иметь полюсы входной функции (аналогично резонансу токов в простейшей цепи), а при значениях равных корням числителя, — нули входной функции (аналогично резонансу напряжений в простейшей цепи).

Переписывая (17-15) в операторной форме и вводя вместо , получаем:

Для реактивных двухполюсников всегда возрастает с ростом частоты, т. е.

откуда вытекает свойство чередования полюсов и нулей . Простейший пример чередования был уже получен в § 5-5 для кривой : вслед за полюсом (при сот) следовал нуль (при ); кроме того, для всех выполнялось неравенство Для всех схем, которые рассматриваются ниже, это положение будет подтверждено.

Сопротивление увеличиваясь, например, от — (полюс функции), проходит через нуль (нуль функции) и, продолжая увеличиваться возрастает до (снова полюс функции). Затем скачком изменяется от до — и процесс повторяется так, что Те же рассуждения остаются справедливыми, если начинает увеличиваться с нуля. Отметим, что меняет знак при каждом переходе через нуль и через полюс.

Таким образом, в силу чередования нулей и полюсов функции для корней ее числителя и знаменателя имеем:

Для доказательства этого положения в общем случае предположим, что двухполюсник имеет реактивных ветвей для любой ветви, содержащей индуктивность L, и емкость имеем

Но входное сопротивление двухполюсника зависит от сопротивлений всех ветвей Поэтому

    (17-16)

Рис. 17-8

Для доказательства нужно еще показать, что Пусть ко входу двухполюсника подключена э. д. с. (рис 17 8) Выделим любую ветвь и, применяя теорему компенсации, заменим ее сопротивление (знак минус объясняется совпадением положительных направлений э. д. с. , и тока На основании принципа наложения определим токи

где все проводимости не зависят от сопротивления т. е. остаются постоянными при его изменении Подставляя вместо его значение — и исключая из уравнения (17-17) ток получаем

откуда

и

Так как рассматривается реактивный двухполюсник, то все собственные и взаимные проводимости чисто мнимые, Окончательно получаем

что и доказывает высказанное положение