1-9. Уравнения состояния цепи в матричной форме

Пользуясь матрицей соединения узловых проводимостей ветвей А и матрицей соединения контурных сопротивлений В, а также законами Кирхгофа, можно получить узловые и контурные уравнения, определяющие электрическое состояние цепи в матричной форме; при этом попутно получаются выражения для определения матрицы узловых проводимостей (1-49) и матрицы контурных сопротивлений (1-66).

Первый и второй законы Кирхгофа запишем в матричной форме:

где — матрица-столбец токов ветвей схемы;

— матрица-столбец напряжений на зажимах ветвей той же схемы.

Пользуясь уравнением (1-67), представим первое из выражений (1-68) в следующем виде:

Полученное выражение справедливо при всех значениях — поэтому для любой заданной электрической цепи.

На основании закона Ома для ветви с э. д. с. при выбранных положительных направлениях тока напряжении 11 в и очевидно, справедливо равенство

где — сопротивления ветвей, или в матричной форме

где — диагональная матрица сопротивлений ветвей.

После умножения обеих частей уравнения (1-70) слева на В получим:

Из этого выражения следует, что произведение равно, как уже было отмечено, матрице контурных сопротивлений произведение BE, определяет матрицу контурных и, наконец, Таким образом, из (1-71) следует:

Если в ветвях заданной схемы кроме источников э. д. с. имеются эквивалентные э. д. с. от источников тока, то они войдут в (1-72) в качестве слагаемых; в результате получится уравнение, совпадающее с (1 -58а).

Аналогично получается матричное уравнение для узловых потенциалов.

Из уравнения (1-70) непосредственно следует, что

Обозначив из первого уравнения (1-68) с учетом (1-73), получим:

Из этого уравнения с учетом (1-50) следует, что

где произведение равно матрице узловых проводимостей схемы а произведение определяет матрицу узловых токов той же схемы. Если в заданной схеме имеются кроме источников напряжения источники тока, то в правой части уравнения (1-74) входят дополнительные слагаемые и оно в раскрытой форме совпадет с (1-33а).