1-7. Метод узловых потенциалов

Как было показано, режим любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании первого и второго законов Кирхгофа, причем для определения токов во всех в ветвях необходимо составить и решить систему уравнений с в неизвестными.

Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если пользоваться методом узловых потенциалов, основанным на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома (1-12).

Для выяснения сущности этого метода рассмотрим, например, электрическую схему, показанную на рис. 1-20.

Рис. 1-20.

Пусть потенциал одного из узлов, например узла 3, принят равным нулю, т. е. . Такое допущение не изменяет условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от разности потенциалов на зажимах ветви.

На основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 этой схемы при выбранных положительных направлениях токов получаем:

Токи в ветвях на основании закона Ома (1-12)

— потенциалы узлов 1 и 2.

После подстановки (1-29) в (1-28) и группировки членов получим:

или

В этих уравнениях — суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и — сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.

Правая часть каждого из уравнений (1-30) равна алгебраической сумме произведений э. д. с. источника на проводимость для каждой из ветвей, которая присоединена к рассматриваемому узлу. Произведение вида записывается с положительным знаком в том случае, когда э. д. с. направлена к рассматриваемому узлу, и с отрицательным, когда э. д. с. направлена от узла.

Уравнения (1-30) не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях.

Чтобы подтвердить это положение, рассмотрим опять схему, показанную на рис. 1-20, и для каждого узла примем положительные направления токов от узла. Для узлов 1 и 2 справедливы уравнения

Принимая, как и раньше, напишем выражения для токов ветвей: для узла 1

для узла 2

После подстановки (1-32) в (1-31) и группировки слагаемых получаются уравнения, совпадающие с (1-30).

Таким образом, можно написать уравнения для определения потенциалов узлов произвольной электрической цепи, не задаваясь положительными направлениями токов в ветвях; при этом потенциал одного из узлов надо принять равным нулю.

Если электрическая схема содержит не только источники э. д. с., но и источники тока, то в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, войдут и токи источников тока. При составлении уравнений вида (1-30) токи заданных источников тока учитываются для каждого узла в виде слагаемых в правой части, причем, как было отмечено выше, с положительными знаками должны быть взяты токи источников тока, направленные к узлу, а с отрицательными — от узла.

Например, для узлов 1, 2 и 3 схемы, показанной на рис. 1-21, при получим соответственно следующие уравнения:

где

Если электрическая схема имеет в своем составе узлов (у — любое целое число), а потенциал, например, узла принят равным нулю, то для определения у потенциалов остальных узлов получается у уравнений:

или в более общей форме для любого узла при

В этих уравнениях, так же как и в уравнениях (1-30), проводимость (с двумя одинаковыми индексами) представляет собой суммарную проводимость ветвей, присоединенных к узлу и называется собственной узловой проводимостью этого узла; проводимость с двумя различными индексами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы , и называется общей узловой проводимостью этих узлов. Правая часть каждого из уравнений содержит алгебраические суммы произведений э. д. с. на соответствующие проводимости для всех ветвей, присоединенных к узлу , и узловой ток равный алгебраической сумме токов всех источников тока, присоединенных к тому же узлу.

В свою очередь ток равен алгебраической сумме и токов, определяемых источниками э. д. с., которые присоединены к узлу .

Рис. 1-21.

При этом следует иметь в виду, что для замкнутых поверхностей сумма всех узловых токов, как это вытекает из первого закона Кирхгофа, равна нулю. К узловым токам можно отнести и уже известные в каких-либо ветвях гоки. Проводимости таких ветвей в выражения вида не входят.

Решив уравнения (1-33), можно определить потенциалы узлов, а зная потенциалы, легко найти токи во всех ветвях по закону Ома (1-12).

Некоторые замечания о составлении узловых уравнений. Выше было показано, что уравнения (1-33) справедливы соответственно для потенциалов узлов у схемы при При этом узловой определитель, составленный из коэффициентов системы уравнении (1-33),

симметричен относительно главной диагонали, поскольку проводимости ветвей между каждой парой узлов связаны соотношениями

Каждая диагональная проводимость в определителе (1-34) равна сумме провидимостей всех ветвей, присоединенных к соответствующему

узлу. Поэтому число слагаемых определителя (1-34) в раскрытой форме при записи в буквенных обозначениях резко возрастает главным образом за счет диагональных членов. Однако иногда заранее можно уменьшить число слагаемых, заменив узловое уравнение для узла, к которому присоединено максимальное число ветвей, уравнением для узла, в котором

Рис. 1-22.

Например, для мостовой схемы с одним источником напряжения (рис. 1-22, а) можно написать при систему уравнений для узлов 1, 2 и 3:

Этой системе соответствует определитель

Если вместо четвертого узла заземлить третий узел (рис. 1-22, б), то для тех же узлов (1,2 и 3) при получаются следующие независимые уравнения:

где вместо потенциала входит неизвестный потенциал Определитель последней системы уравнений

Сравним выражения (1-36) и (1-38). В определителе (1-36) только произведение диагональных членов дает 27 слагаемых, а из общего числа, равного 38 слагаемым, 22 члена попарно равны по абсолютному значению и обратны по знаку и поэтому сокращаются. В определителе (1-38) всего 18 слагаемых, из которых два равны по абсолютному значению и имеют противоположные знаки и сокращаются. Оставшаяся сумма 16 слагаемых, естественно, равна определителю, найденному по уравнению (1-36).

Отметим еще, что уравнения (1-38) позволяют проще, чем уравнения (1-36), определить напряжения Действительно, числители выражений для этих напряжений получаются сразу с несокращающимися членами из определителя (1-38) путем замены соответствующих столбцов правыми частями уравнений (1-37):

где алгебраические дополнения получаются из (1-38) вычеркиванием первой строки и соответственно первого, второго и третьего столбцов и умножением полученных миноров соответственно на

Здесь следует подчеркнуть, что уравнения (1-37) при (рис. 1-22, б) можно получить из уравнений (1-35) при (рис. 1-22, а) путем замены потенциалов через напряжения соответствующие ветвям с проводимостями (Рис. 1-22, в). Действительно, если в уравнениях (1-35) заменить , то получится:

Эти уравнения полностью совпадают с уравнениями (1-37), в которых, как уже отмечено, при надо заменить

Таким образом, уравнения, составленные относительно неизвестных напряжений на зажимах ветвей, не зависят от того, какой узел в схеме заземлен

Аналогичные соотношения справедливы и для узловых уравнений в случае более сложных схем.

Рис. 1-23.

Действительно, например, для узлов 1,2, 3 и 4 схемы рис. 1-23, а и б при запишем следующие уравнения:

Этим уравнениям соответствует определитель узловых проводимостей

Для той же схемы и при том же заземленном узле можно составить независимые узловые уравнения для других узлов, например для 2, 3, 4 и 5, в следующем виде:

Полученным уравнениям соответствует определитель

Определители (1-41) и (1-43) в раскрытой форме равны между собой и содержат по 45 слагаемых. Однако в определителе (1-41) окончательный результат получается после сокращения 76 попарно равных по абсолютному значению и противоположных по знаку членов, а в определителе (1-43) только 16 таких слагаемых Иначе говоря, если в определителе (1-41) общее число членов (до сокращения) равно 121, но в определителе (1-43) таких членов 61

Особо подчеркнем, что определители (1-41) и (1-43) легко получаются из определителя, составленного для зависимой системы уравнений, т. е. записанной для всех узлов схемы Действительно, для схемы рис 1-23 определитель системы узловых уравнений для всех пяти узлов

Этот определитель соответствует неопределенной узловой матрице (отмечено индексом «н»), т. е. полной системе уравнений с пятью неизвестными узловыми потенциалами, сумма элементов такого определителя по строкам и столбцам равна нулю Определитель (1-41), соответствующий системе независимых уравнении (1-40), получается из (1-44) вычеркиванием пятой строки и пятого стотбца, а определитель (1-43), соответствующий уравнениям (1-42), получается из (1-44) вычеркиванием первой строки и пятого столбца Все это и определяет основные соотношения между параметрами схемы, узловыми уравнениями и соответствующими определителями, которые следует учитывать при анализе цепей методом узловых потенциалов

Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками э д с , а сопротивлениями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (1-33) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие Такое затруднение преодолевается путем переноса заданной э. д. с. из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются

Для иллюстрации рассмотрим схему (рис 1-24, а), у которой в ветви 2-4 сопротивление равно нулю, а э д с равна Е Если в каждую ветвь, присоединенную, например, к узлу 2, включить

источник напряжения с э. д. с., равной Е и направленной от узла 2 (на рис. 1-24, а эти э. д. с. изображены пунктиром), то токи во всех ветвях останутся без изменения, поскольку разности потенциалов между точками 1, 3, 4 будут, так же как в заданной схеме, равны нулю. Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы и их можно объединить в одну точку (рис. 1-24, б). Для полученной схемы с тремя узлами (вместо четырех) можно составить два независимых уравнения вида (1-33), из которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по закону Ома токи во всех ветвях схемы (рис. 1-24, б), после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением по первому закону Кирхгофа.

Рис. 1-24.

Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предварительного переноса э. д. с. через узел схемы в другие ветви. Действительно, если принять в заданной схеме (рис. 1-24, а) , то потенциал узла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов нужно составить уравнения (1-33), которые полностью совпадут с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рис. 1-23, б).

Рис. 1-25.

Полезно еще рассмотреть применение уравнений (1-33) для частного случая схемы с двумя узлами и произвольным числом активных ветвей, когда требуется определить напряжение между этими узлами.

Пусть между узлами 1 и 2 включено ветвей (рис. 1-25). Найдем напряжение записав уравнение (1-33) для первого узла

откуда

где числитель представляет собой алгебраическую сумму произведений э. д. с. на проводимость для всех ветвей, содержащих э. д. с. (с положительным знаком берутся э. д. с. направленные к узлу ), а знаменатель — арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, включенных между узлами.

Пример 1-3. На рис. 1-26, а изображена электрическая схема с шестью неизвестными токами; э.д.с. источников: ; сопротивления ветвей: Ом и Ом. Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи во всех ветвях.

Рис. 1-26.

Решение. Пусть потенциал точки О равен нулю. Запишем уравнения для узлов с потенциалами

или после подстановки числовых значений проводимостей и э. д. с.

Решая совместно эти уравнения, находим искомые потенциалы: . Для определения токов в ветвях следует задаться их положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов (рис. 1-26, а)

Матричные уравнения узловых потенциалов. Уравнения узловых потенциалов (1-33) можно записать в матричной форме:

где

— квадратная матрица узловых проводимостей схемы;

— матрица-столбец потенциалов узлов и матрица-столбец токов источников тока в узлах, где по (1 -33а) при этом алгебраическое суммирование, выполняемое с учетом знаков, распространяется на все ветви с источниками токов и с источниками напряжений, присоединенные к узлу.

Умножая слева уравнение (1-47) на получим выражение для определения потенциалов узлов схемы в виде

где матрица, обратная матрице

Ниже показано, что матрицу узловых проводимостей цепи можно составить непосредственно по соответствующей схеме, применяя формулу

где А — матрица соединения узловых проводимостей ветвей схемы или ее ориентированного графа, — диагональная матрица проводимостей ветвей;

— транспонированная матрица соединения узловых проводимостей ветвей схемы или ее ориентированного графа. Матрица А составляется следующим образом - столбцы матрицы соответствуют ветвям схемы, а ее строки — узлам, на пересечении строки и столбца записывается ±1 или 0 (пробел) в зависимости от того, присоединена данная ветвь к соответствующему узлу или положительный знак записывается в том случае, когда ветвь направлена от узла, а отрицательный — к узлу; при этом направление ветви обычно совмещается с положительным направлением тока в ней.

Для иллюстрации применения формулы (1-49) рассмотрим схему рис. 1-26, а, для которой на рис. 1-26, б построен ориентированный граф. Поскольку у заданной схемы четыре узла, то для нее можно составить три независимых уравнения, чему и соответствует матрица соединения узловых проводимостей ветвей из трех строк и шести столбцов:

Диагональная матрица проводимостей ветвей равна:

Произведение матриц А и равно:

Матрица узловых проводимостей цепи получается после перемножения матриц

Матрица-столбец потенциалов узлов

Матрица-столбец источников тока

Пользуясь выражением (1-47), легко получить систему уравнений, приведенную в примере 1-3. Если матрицу А дополнить четвертой строкой, соответствующей узлу О, то по формуле (1-49) получится неопределенная матрица узловых проводимостей цепи, для которой сумма элементов по всем четырем строкам и четырем столбцам равна нулю; определитель такой матрицы также равен нулю. После вычеркивания любой строки и соответствующего этой строке столбца, например четвертой строки и четвертого столбца, получается определенная квадратная матрица третьего порядка.

Определитель такой матрицы симметричен относительно главной диагонали. Если вычеркнутая строка не соответствует вычеркнутому столбцу, то и в этом случае получается определенная квадратная матрица, соответствующая независимой системе уравнений. Однако определитель такой матрицы уже не имеет симметрии относительно главной диагонали [см., например, (1-38) и (1 -43)].

Здесь следует особо подчеркнуть, что если принять равным нулю потенциал того же узла схемы, который соответствует вычеркнутой строке матрицы А, то напряжения на всех ветвях схемы определяются через потенциалы узлов по формуле

где положительное направление совпадает с положительным направлением тока в ветви. Это непосредственно получается из формул для напряжения на каждой ветви. Например, для схемы по рис. 1-26

Из этого выражения следует: