23-4. Формы кривых тока и напряжения в цепях с нелинейными реактивными сопротивлениями

В катушках со стальными магнитопроводами при синусоидальных напряжениях на зажимах токи обычно оказываются несинусоидальными, и, наоборот, при синусоидальных токах в напряжениях появляются высшие гармоники.

Рассмотрим форму кривой тока при синусоидальном напряжении на зажимах катушки со стальным магнитопроводом. Допустим, что сопротивление обмотки катушек ничтожно мало и им, так же как и потоком рассеяния, при расчете напряжения на катушке можно пренебречь. Тогда между поток в магнитопроводе и напряжением на зажимах катушки существует следующая зависимость:

где w — число витков обмотки. Отсюда

Здесь и в дальнейшем мгновенные значения потока и потокосцепления следовало бы обозначать . Однако для упрощения записи будем писать короче:

Таким образом, при синусоидальном напряжении магнитный поток также синусоидален и отстает по фазе от напряжения и угол его амплитуда

Первоначально рассмотрим магнитопровод, выполненный из магнитно-мягкой стали с малыми потерями, для которой петлей гистерезиса можно пренебречь и считать, что зависимости и соответственно i (Ф) однозначны. Зная зависимость и имея кривую i (Ф), легко найти зависимость

Расчет графический. Для рассматриваемого случая кривая построена на рис. 23-10. Как видно из построения, кривая тока имеет заостренную форму. Чем больше амплитуда магнитного потока, тем сильнее сказывается насыщение стали, острее кривая тока и резче в ней выступают в первую очередь третья, а затем и пятая гармоника.

Основная гармоника тока (рис. 23-10) совпадает по фазе с магнитным потоком и отстает от напряжения на четверть периода Активная мощность, потребляемая от источника синусоидальной э. д. с., равна нулю.

Расчет аналитический. К тем же выводам можно прийти, выражая характеристику намагничивания, например, в виде

Подставляя

находим

    (23-22)

учитывая, что

    (23-23)

после преобразований получаем:

    (23-24)

Это выражение показывает, что кривая имеет в сравнении с синусоидой заостренную форму, так как максимумы первой и третьей гармоник совпадают при и т. д., следовательно,

Рис. 23-10.

Рассмотрим теперь случай, когда катушка со стальным магнитопроводом питается от источника синусоидального тока

и петлей гистерезиса можно пренебречь.

Графический расчет. Аналогично предыдущему по известным кривым и характеристике на рис. 23-11 построена кривая магнитного потока Ф (t). Полученная кривая имеет тупую (при-плюснутую) форму. Кривая напряжения на катушке, построенная

путем графического дифференцирования кривой магнитного имеет заостренную форму.

Рис. 23-11.

Расчет аналитический. То же можно показать, пользуясь приближенным аналитическим выражением кривой намагничигания

    (23-25)

Подставляя

получаем:

или после преобразований, учитывая (23-23),

Выражая напряжение через магнитный поток, получаем:

Последнее выражение показывает, что кривая и имеет заостренную форму, так как максимумы первой и третьей гармоник совпадают ( при ), а отношение амплитуды третьей гармоники к первой для кривой напряжения в 3 раза больше, чем для кривой потока. Таким образом, при синусоидальном намагничивающем токе относительно небольшая несинусоидальность кривой магнитного потока приводит к более значительному отличию от синусоиды кривой напряжения на катушке.

Сложнее производится расчет для стали с потерями, когда непьзя пренебречь гистерезисом и необходимо учитывать неоднозначность зависимости между i и Ф. Эта зависимость изображается тлей гистерезиса (рис. 23-12). Графическое построение для расчета катушки выполняется по точкам аналогично рис. 23-10 и для случая питания катушки от источника синусоидальной э. д. с. показано на рис. 23-12. Как видно из построения, максимумы тока и магнитного потока во времени совпадают, но ток проходит через нуль несколько раньше, чем магнитный поток достигает нуля, что обусловлено гистерезисом. При аналитическом решении этой задачи обычно ток в катушке со сталью представляют в виде суммы двух составляющих.

Зависимость одной из них от магнитного потока выражается однозначной функцией, подобной (23-20), а зависимость второй от магнитного потока изображается эллипсом, оси которого соответствуют максимальной индукции в стали и ее коэрцитивной силе.

Рис. 23-12.

Все большее применение в технике получают сегнетоэлектрики.

Конденсаторы с сегнетоэлектриками имеют нелинейную характеристику . Эта зависимость аналогична кривой у катушек со стальным магнитопроводом. Если учесть, что ток в конденсаторе выражается подобно тому, как и напряжение на катушке , то, выполняя построения, аналогичные рис. 23-10 или рис. 23-11, легко установить характер кривых тока и напряжения для конденсатора с сегнетодиэлектриком. При достаточно большом синусоидальном напряжении на конденсаторе кривая тока имеет заостренную форму (аналогично u(t) на рис. 23-11), а при синусоидальном токе в конденсаторе на нем возникает несинусоидальнoe напряжение заостренной формы [аналогично i(t) на рис. 23-10].

В обоих случаях в несинусоидальных кривых наиболее резко выступает третья гармоника.

При последовательном соединении линейной и нелинейной или нескольких различных нелинейных индуктивностей и питании такой цепи от источника синусоидальной э. д. с. как ток, так и напряжение на различных участках оказываются обычно несинусоидальными. В этих случаях токи и напряжения можно определять также на основании графических построений или аналитических расчётов.

Пример 23-1. Цепь состоит из линейной и нелинейной индуктивностей, включенных последовательно на гармоническое напряжение Но (рис 23-13, а) Зависимость задана графически (рис 23-13, б) Построить зависимости

Решение Потокосцепление первой катушки и, следовательно, общее потокосцепление

Так как общее напряжение

то кривая потокосцепления также синусоидальна (рис 23-13, б)

Рис. 23-13

На этом же рисунке построены прямая и суммарная кривая для положительных значений этих величин

Зная для любого момента времени значение (например, точки 1 и 2), графически определим соответствующие значения и построим графики и Это построение выполнено на рис 23-13, б Как видно из построения, при данном значении график имеет в сравнении с синусоидой заостренную форму, а наоборот, притупленную Если теперь определить путем графического дифференцирования то легко убедиться что оба напряжения несинусоидальны, напряжение имеет притупленную форму а напряжение — заостренную.

Рассматривая форму несинусоидальных кривых, получаемых в цепях с реактивными нелинейными сопротивлениями, можно заметить, что во всех случаях кривые симметричны относительно оси абсцисс и, следовательно, не содержат четных гармоник. Отсутствие четных гармоник — следствие симметрии нелинейных характеристик реактивных сопротивлений (рис. 23-10, 23-11 и 23-13)