Глава пятнадцатая. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

15-1. Преобразование Фурье и его основные свойства

В § 12-2 было дано разложение периодической функции с периодом Т, удовлетворяющей условиям Дирихле, в ряд Фурье:

где

и принимает дискретные значения: и т. д.

Подставляя значения и в (15-1) и обозначая интервал между соседними частотами

получаем:

Здесь поэтому

Устремляя T к бесконечности, заключаем, что если функция абсолютно интегрируема в бесконечных пределах (т. е. если конечен интеграл , то конечное значение имеет также интеграл при любых и t. При этом же условии

т. е. приближенно

Но так как при , сумма в правой части (15-2) переходит в интеграл, а приближенное равенство (15-2) — в точное (при этом заменяется на а дискретные значения частоты — на непрерывно изменяющуюся частоту ):

Поскольку то функция , заданная на промежутке — является уже непериодической функцией. Поэтому можно утверждать, что формула (15-3) представляет собой сумму бесконечно большого числа гармонических функций с непрерывно изменяющимися частотами со и бесконечно малыми амплитудами. В самом деле, выражение

представляет собой бесконечно малую по амплитуде гармонику частоты Конечно, эта бесконечно малая гармоника частоты может быгь найдена только по заданной функции Суммируя затем гармонические составляющие (внешний интеграл по ) при изменении от 0 до (т. е. учитывая все бесконечное множество гармоник с непрерывно изменяющимися частотами ), получаем заданную функцию

Иными словами, непериодическая функция характеризуется непрерывным спектром частот, в то время как периодическая функция дискретным.

Формула (15-3) называется интегралом Фурье в тригонометрической форме. Отметим, что абсолютная интегрируемость функции в бесконечных пределах является для вывода формулы (15-3) достаточным условием, но не необходимым.

Ввиду четности относительно формулу (15-3) перепишем еще в виде

Подчеркнем, что при решении электротехнических задач гармоники с отрицательными частотами физического смысла не имеют (см. также гл. 12). Однако введение их позволяет представить функцию вместо формулы (15-3) более симметричной формулой (15.4)

Далее в силу нечетности функции относительно аналогично (15-4) найдем, что

Умножая (15-5) на и складывая с (15-4), получаем интеграл Фурье в комплексной форме, который часто значительно удобнее для расчетов:

Если функция задана на промежутке от 0 до а на промежутке от — до 0 равна нулю, то соответственно

Внутренний интеграл с заменой на (значение определенного интеграла не зависит от того, как обозначена переменная интегрирования) может быть переписан так:

Комплексная функция частоты дает закон изменения комплексных амплитуд гармоник в зависимости от частоты и называется частотным спектром (спектральной плотностью, спектральной, частотной или амплитудно-фазовой характеристикой) заданной функции f (t). Само соотношение (15-9) называется прямым

преобразованием Фурье и обозначается еще

С учетом (15-9) перепишем (15-8) так:

Таким образом, функция по модулю и фазе характеризует гармонику частоты , а выражение - представляет собой гармонику с частотой функции . Эта гармоника выражена в комплексной форме, имеет бесконечно малую амплитуду и называется элементарной. Соотношение (15-10) называется обратным преобразованием Фурье и обозначается

Сравнивая формулы прямого и обратного преобразований Лапласа (14-1) и (14-2) с формулами прямого (15-9) и обратного преобразований Фурье (см. также приложение 3), заключаем, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа, получается из него при и применимо для более узкого класса функций , что и было отмечено выше. Следовательно, частотный спектр функции получается из ее лапласова изображения по формуле

    (15-11)

Поэтому установленные в гл. 14 свойства преобразования Лапласа справедливы и для преобразования Фурье.

Выше было показано, что операторный метод, основанный на преобразованиях Лапласа, применим для расчета переходных процессов Поэтому и частотный метод, основанный на преобразованиях Фурье, может быть как частный случай операторного метода применен для тех же целей.