13-2. Переходный, принужденный и свободный процессы

Рассмотрим сначала некоторые общие вопросы расчета переходных процессов на примере включения неразветвленной цепи с сопротивлением, индуктивностью и емкостью (последовательного контура) к источнику э. д. с. , которая изменяется во времени непрерывно и задана каким-нибудь аналитическим выражением.

Запишем второй закон Кирхгофа для любого момента времени:

где i — ток переходного процесса, который в дальнейшем будем называть переходным током или просто током г.

Когда с переходным процессом можно уже не считаться, наступает принужденный режим. Принужденный режим, создаваемый источником произвольной периодически изменяющейся э. д. с. (или тока), называют еще установившимся режимом. После окончания переходного процесса источник э. д. с., изменяющейся, например, по экспоненциальному закону, создает принужденный режим, а источник постоянной э. д. с. или э. д. с., изменяющейся по гармоническому закону, создает принужденный или установившийся режим.

Когда наступит принужденный режим, уравнение (13-1) примет вид:

    (13-2)

где — ток принужденного режима или просто принужденный ток.

Вычитая почленно уравнение (13-2) из уравнения (13-1) и обозначая

получаем:

или

    (13-4а)

Разности токов и напряжений переходного процесса и принужденного режимов называются соответственно током и напряжением свободного процесса или просто Свободными током и напряжением.

Уравнение (13-4) показывает, что при переходе цепи от одного принужденного состояния к другому напряжения на всех элементах, создаваемые свободными составляющими токов, взаимно уравновешиваются, но свободные напряжения зависят, конечно, от э. д. с. источника.

Уравнение (13-3) показывает, что процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга процессов — принужденного, который как бы наступил сразу, и свободного, имеющего место только во время переходного процесса. Благодаря свободным составляющим и достигается в переходном процессе непрерывное приближение к принужденному режиму. Следовательно, во время переходною процесса токи и напряжения могут быть разложены на слагающие принужденного режима и свободного процесса:

Так как принцип наложения применим лишь к линейным цепям, то это разложение допустимо для линейных цепей Конечно, физически существуют только переходные токи и напряжения и разложение их на принужденные и свободные составляющие является удобным математическим приемом, облегчающим расчет переходных процессов в линейных цепях.

Разложение переходных токов и напряжений соответствует правилу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому общее решение таких уравнений равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Действительно, свободный ток представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения (13-4) и, следовательно, в его выражении должны быть постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения.

Принужденный ток представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (13-1), а именно такое, которое получается из общего решения неоднородного дифференциального уравнения при равных нулю постоянных интегрирования. Иными словами, в составе принужденного тока не должно быть слагающих свободного тока. Тогда переходный ток t, равный сумме и будет общим решением того же самого неоднородного дифференциального уравнения.

При помощи законов коммутации нетрудно найти начальные значения свободного тока в ветви с индуктивностью и свободного напряжения на емкости нссв (0), что необходимо для определения постоянных интегрирования.

Пусть цепь до коммутации находилась в произвольном режиме. Обозначим ток и напряжение этого режима . В момент коммутации ток и напряжение режима до

коммутации будем считать известными. Так как переходный ток в индуктивности и переходное напряжение на емкости в момент коммутации не могут изменяться скачком, то на основании (13-5) имеем:

или

Если цепь до коммутации находилась в принужденном режиме, то, обозначая ток и напряжение этого режима , получаем:

    (13-66)

В частном случае, когда до коммутации цепь была отключена и на емкости не было заряда, т. е. имеем:

Начнем изучение переходных процессов с исследования процессов в простейших цепях так называемым классическим методом. Этот метод заключается в интегрировании дифференциальных уравнений, связывающих токи и напряжения цепи, в результате чего появляются постоянные, и в определении постоянных из начальных условий, вытекающих из законов коммутации.

Начальными условиями назовем значения переходных токов в индуктивностях и напряжений на емкостях при т. е. те величины, которые в момент коммутации не изменяются скачком. Иногда эти условия называются еще независи-, мыми начальными условиями. В отличие от них начальные значения всех остальных токов и напряжений называют зависимыми начальными условиями. Зависимые начальные условия определяются по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Отметим, что эсновная трудность классического метода исследования переходных процессов в сложных цепях как раз и состоит в определении зависимых начальных условий.