13-16. Включение пассивного двухполюсника на напряжение любой формы

В дальнейшем под любой формой напряжения будем понимать его изменение, определяемое кусочно-аналитической функцией, т. е. функцией, аналитически заданной на каждом конечном интервале и имеющей в точках стыка интервалов разрывы непрерывности первого рода.

Рис. 13-29.

Пусть произвольный пассивный двухполюсник подключается к источнику напряжения, кривая изменения которого дана на рис. 13-29. Для вычисления тока определим, как и выше, переходную проводимость

Так как в промежутке включаемое напряжение задано функцией то, воспользовавшись первой формой записи формулы Дюамеля (13-74), можем написать для этого промежутка времени:

    (13-76)

В следующем промежутке напряжение задано другой функцией причем в момент оно изменяется скачком от величины до величины . Для учета скачка напряжения в точке будем считать, что в этот момент к двухполюснику прикладывается отрицательное постоянное напряжение, равное Кроме того, учтем составляющие тока от начального скачка напряжения их (0) и от элементарных скачков напряжения, определяемого кривой и действующего от до

Тогда получим:

    (13-77)

В этом равенстве в третьем члене аргументом переходной проводимости служит величина так как напряжение включается в момент . Аргумент переходной проводимости g в обоих интегралах один и тот же, поскольку он имеет смысл промежутка времени, прошедшего от включения элементарного скачка напряжения А и до рассматриваемого момента времени t (рис. 13-27).

Однако, разумеется, пределы изменения обоих интегралах различны.

Если скачок тока принципиально возможен, то . Тогда скачок напряжения в момент от величины их до величины вызовет, разумеется, и скачок тока

    (13-78)

Если скачка тока быть не может, то и по формуле (13-78) в момент времени также и несмотря на наличие в этот момент скачка напряжения.

Наконец, для промежутка времени учтем, что в момент включается постоянное напряжение и что элементарные скачки, определяемые кривой напряжения действуют до момента времени Поэтому и

    (13-79)

Рациональнее, однако, воспользоваться для решения этой задачи третьей формой записи формулы Дюамеля. Для промежутка времени согласно третьей форме записи формулы Дюамеля имеем:

Сравнивая последнее равенство с (13-76), заключаем, что для этого промежутка времени третья форма записи преимуществ не дает.

Для следующего промежутка времени сначала преобразуем интегрированием по частям входящие в (13-77) интегралы:

Подставляя полученные значения интегралов в (13-77), будем иметь после простых преобразований для промежутка

Здесь внеинтегральный член и интегралы записаны согласно третьей форме записи формулы Дюамеля. Легко видеть, что расчет тока по последней формуле несколько проще его расчета по формуле (13-77), так как в (13-77) нужно учитывать еще одно дополнительное слагаемое ). Разумеется, эти выводы будут правильны, если подынтегральные выражения в (13-77) и в последнем выражении примерно одинаковой сложности.

Аналогично для промежутка

Легко видеть, что расчет тока по этой формуле проще, чем по формуле - (13-79), так как в последней нужно учитывать три дополнительных слагаемых, обусловленных скачками приложенного напряжения в моменты

Преимущества третьей формы Записи формулы Дюамеля тем более ощутимы чем больше разрывов непрерывности первого рода у приложенного напряжения на заданном промежутке его действия.

Рассмотрим, наконец, переходные процессы при включении произвольного активного двухполюсника к напряжению любой формы.

Найдем ток i в любой ветви активного двухполюсника (в частности, и в ветви рубильника). Расчет проведем по принципу наложения. Сначала будем считать двухполюсник пассивным, т. е. учтем только включаемое напряжение и (t). Расчет тока при этом проведем по формулам Дюамеля. Затем учтем только источники активного двухполюсника, т. е. найдем ток в той же ветви при замыкании накоротко зажимов источника напряжения и (t). Расчет тока в этом случае выполним, например, классическим методом (см. § 13-14). Суммируя найденные составляющие токи, получаем искомый ток.

Рис. 13-30.

Отметим еще, что при подаче на вход активного двухполюсника ряда импульсов напряжения (рис. 13-30) расчет токов в любой ветви также можно провести при помощи формулы Дюамеля.

При действии последовательности прямоугольных импульсов расчет можно вести и без применения формулы Дюамеля. В самом деле, для учета действия любого прямоугольного импульса можно считать, что в момент начала его действия включается постоянное напряжение, равное по величине напряжению импульса, а в момент окончания действия импульса включается такое же постоянное напряжение, но противоположное по знаку.

Пример 13-4. Найти ток в индуктивности (рис. 13-31) для промежутков времени если Форма кривой приложенного напряжения задана (рис. 13-32),

Рис. 13-31.

Рис. 13-32.

Решение. Переходную проводимость для ветви с индуктивностью найдем по формуле (13-17)

где

Постоянную времени найдем по формуле (13-16):

Тогда

Уравнение приложенного напряжения (рис. 13-32)

Применяя первую форму записи формулы Дюамеля для промежутка получаем:

Проверяя, убеждаемся, что .

Для промежутка времени записываем:

и получаем:

При ток измениться не должен, несмотря на скачок приложенного напряжения. Проверяя, убеждаемся, что

Кривая тока приведена на рис. 13-33.

Рис. 13-33.

Заметим, что попытка применить для вычисления тока в промежутке вторую форму записи формулы Дюамеля, когда интеграл в правой части равенства (а) был бы заменен интегралом дает неправильный результат. Действительно, из равенства (13-75) следует, что эти интегралы равны только при верхних пределах t. если же верхний предел равен то

откуда и следует для промежутка выражение тока по второй Форме записи формулы Дюамеля: