25-2. Включение катушки со стальным магнитопроводом на постоянное напряжение

При включении катушки с замкнутым стальным магнитопроводом на постоянное напряжение переходный процесс качественно происходит так же, как и при включении линейной цепи . Однако количественно он несколько иной и уже не может быть точно описан разностью постоянной величины и экспоненты (см. § 13-4).

Рис. 25-1.

Рис. 25-2.

Если пренебречь гистерезисом и вихревыми токами, возникающими в стали при изменении магнитного потока, то анализ процессов при включении катушки со стальным магнитопроводом на постоянное напряжение можно свести к расчету схемы, изображенной на рис. 25-1, где обозначено: Y — потокосцепление катушки; — сопротивление катушки; U — напряжение источника.

Зависимость задана кривой, изображенной на рис. 25-2 сплошной линией, которая для любой катушки со стальным магнитопроводом может быть построена, если известна кривая намагничивания стали.

Для выражения нелинейной зависимости в цепях со сталью применяется множество различных формул. Некоторые из этих формул уже применялись в гл. 23 и 24. Приведем еще примеры

таких формул с указанием пределов допустимых изменений одной из переменных величин:

здесь — некоторое значение, задающее верхний предел изменения тока.

Если в течение рассматриваемого промежутка времени ток изменяет направление, то для выражения кривых намагничивания следует пользоваться нечетными функциями (например, вторая, третья и пятая формулы). Постоянные коэффициенты определяются из условия наибольшего соответствия формулы заданному участку характеристики. Если переходный процесс происходит на некоторой ветви частного цикла перемагничивания, то в аналитическое выражение необходимо ввести постоянную составляющую тока или магнитного потока.

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы по рис. 25-1:

В установившемся режиме (при ) и, следовательно, и определяется в соответствии с по кривой намагничивания (точка А на рис. 25-2).

Рассмотрим решение этой задачи при помощи различных методов на ряде примеров.

Метод условной линеаризации. Заменив нелинейную характеристику прямой линией, проходящей через точку и выражаемой уравнением перепишем уравнение (25-2) следующим образом:

где — некоторая статическая индуктивность, соответствующая точке

Уравнение (25-3) решаем так же, как в линейной задаче (см. § 13-4). Для потокосцепления получаем:

где

График зависимости показан на рис. 25-3. Для каждого значения по кривой (рис. 25-2) теперь определяем значение

Полученная зависимость изображена на рис. 25-3.

Рис. 25-3.

Как видно из графика, кривая отличается от закона . В первые моменты времени кривая идет более полого, а приближаясь к установившемуся значению, ток нарастает быстрее, чем в линейной цепи. Отличие полученной кривой от экспоненты можно уяснить, рассматривая зависимость дифференциальной индуктивности L от тока i (рис. 25-4,б). Так как при малых токах дифференциальная индуктивность больше, чем а при больших токах меньше, то процесс нарастания тока вначале при малых токах происходит медленнее, а при больших токах, наоборот, скорее, чем при постоянном

Рис. 25-4.

В данном примере зависимость получена в результате весьма приближенного решения задачи, однако полученная при этом кривая носит такой же характер, как и в решениях, выполненных более строгими методами.

Метод аналитической аппроксимации нелинейной характеристики. Наиболее просто задача решается, если для принять первую из формул (25-1), в которой положить Тогда, считая, что аналитическое выражение соответствует заданной характеристике в точке (рис. 25-2), получаем:

откуда

График кривой показан на рис. 25-2 пунктиром.

Подставив i в уравнение (25-2), получим:

Решая уравнение относительно времени и интегрируя, находим, что

После преобразования получим:

и соответственно

где

Выражения (25-7) и (25-8) приближенно описывают переходный процесс включения катушки со стальным магнитопроводом. Точность решения задачи тем выше, чем ближе аналитическое выражение соответствует нелинейной характеристике.

Применение иных из формул (25-1) позволяет получить более точное аналитическое выражение нелинейной характеристики, однако решение задачи значительно усложняется.

Метод кусочно-линейной аппроксимации нелинейной характеристики. Если характеристику заменить некоторой ломаной линией 0-1-2-3 (рис. 25-4,а), то решение задачи представляется в виде трех различных выражений в соответствии с тремя участками линеаризации.

Для первого участка зависимость между током и потокосцеплением имеет вид:

для второго участка 1—2

н для третьего участка 2—3

Потокосцепления и находим графически (рис. 25-4,а). Дифференциальную индуктивность L определяем как величину, пропорциональную тангенсу угла наклона ломаной на соответствующем участке: Изменение L при переходе от одного участка ломаной к другому показано на рис. 25-4, б.

Разбивая все время переходного процесса на три промежутка в соответствии с участками ломаной, для различных промежутков

времени записываем уравнение (25-2) в виде трех дифференциальных уравнений:

Обозначив запишем решение этих уравнений для каждого из участков:

Из условия невозможности изменения тока скачком в точках 0, 1 и 2 (припасовка) находим

Значения определяем из условий

Решая первое из уравнений относительно , а второе относительно , получаем:

    (25-11)

На рис. 25-5 построена зависимость для всех трех участков характеристики.

Полученная зависимость, так же как и рассмотренное ранее решение, показывает, что нелинейность характеристики стали замедляет процесс нарастания тока в начале и ускоряет в конце.

Рис. 25-5.

Приведенный расчет основан на применении метода припасовывания, предложенного Н. Д. Папалекси в 1912 г.

Метод последовательных интервалов. Разобьем промежуток времени процесса на ряд малых равных интервалов и для каждого интервала на основании дифференциального уравнения (25-2) запишем равенство

    (25-12)

где k — номер интервала; — средний ток за время интервала времени с номером — приращение потокосцепления за время этого интервала.

Тогда

    (25-13)

Зная можно найти , а затем и по характеристике Переходя от точки k к точке можно построить весь переходный процесс.

Начнем с для по формуле (25-13), полагая получаем:

    (25-14)

По графику найдем и, подставив его в формулу (25-13) вместо для получим:

    (25-15)

По графику для определим

Так, последовательными интервалами, переходя от а затем к находим i и для любого момента времени.

Решение задачи сведем в табл. 25-1.

Таблица 25-1

Для зависимости изображенной на рис. 25-6, графики построены на рис. 25-7. Чем меньше интервалы времени тем точнее решение задачи.

Рис. 25-6.

Рис. 25-7.

Приведенный пример решения задачи основан на применении рассматриваемого в курсе математики приближенного решения дифференциальных уравнений, предложенного Эйлером.

Недостатком данного метода является зависимость дальнейшего решения от погрешности при вычислении всех предыдущих значений искомой величины и замены величиной . Так, ошибка в вычислении сказывается при вычислении всех , для

Метод Эйлера является наиболее простым и наименее точным в группе методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, известных как методы Рунге—Кутта. В современных цифровых вычислительных машинах имеются стандартные программы, основанные на методах Рунге—Кутта, при помощи которых задача может быть решена быстро и точно.

Рис. 25-8.

Метод графического интегрирования. Представим уравнение (25-2) в следующем виде:

    (25-16)

По заданной кривой (рис. 25-2) построим зависимость — и проинтегрируем графически эту зависимость по .

На рис. 25-8 по оси абсцисс отложена величина а по оси ординат — потокосцепление. Для того чтобы найти время, в течение которого потокосцепление изменится от 0 до , нужно вычислить

или на графике определить площадь Величина этой площади при учете масштабов дает время.

Так, определяя t для различных значений , строим или а зная по кривой легко находим и

Исследование переходных процессов в нелинейных цепях методом графического интегрирования было развито в работах Рюденберга.

Если сопоставить все пять примеров расчета, то надо заметить, что для рассматриваемой задачи наилучшие результаты получаются в двух последних случаях. Метод последовательных интервалов может дать более точное решение, а при помощи графического интегрирования удается при достаточной точности решения получить наглядное представление о влиянии параметров цепи на характер переходного процесса.