9-5. Простейшие электрические цепи с невзаимными элементами и их направленные графы

Расчет электрических цепей с невзаимными элементами в виде электронных ламп или полупроводниковых приборов часто выполняется матричным способом или при помощи графов. Покажем на простых примерах, как рассчитываются такие цепи указанными методами.

Прежде всего рассмотрим методику построения неопределенной и определенных матриц по уравнениям, составленным для эквивалентных схем с невзаимными элементами.

На рис. 9-6 изображена эквивалентная схема триода, в которой в общем случае учитываются все три емкости между сеткой, анодом и катодом (рис. 9-5). Пользуясь методом узловых потенциалов, напишем для этой схемы следующие уравнения:

где — ток катода, причем сумма токов сетки, анода и катода в соответствии с выбранными положительными направлениями

(рис. 9-1) равна нулю, т. е.

На основании уравнений (9-7) запишем неопределенную матрицу узловых проводимостей триода:

Сумма элементов матрицы (9-8) по любой строке и любому столбцу равна нулю.

Эту матрицу можно представить в виде суммы двух матриц:

Из сравнения (9-8) и (9-9) видно, что матрица не имеет симметрии относительно главной диагонали, причем нарушение симметрии вызвано наличием второй матрицы, отличные от нуля элементы которой равны крутизне S характеристики триода. Следовательно, и нарушение свойства взаимности обусловлено тем же элементом

Заметим, что проводимости каждого элемента схемы записываются в соответствующие строки и столбцы неопределенной матрицы 4 раза, из них 2 раза с положительными знаками и 2 — с отрицательными. Поскольку сумма проводимостей по всем строкам и столбцам, как уже отмечено, равна нулю, то этим свойством можно пользоваться для проверки правильности составления матриц.

Чтобы получить три определенные матрицы для трех схем включения триода: с общим катодом, с общей сеткой и с общим анодом — необходимо из матрицы (9-8) вычеркнуть соответственно третьи столбец и строку, первые столбец и строку и вторые столбец и строку. В результате получается:

При низких частотах емкостные проводимости имеют очень малые значения и ими можно пренебречь. В результате

матрицы (9-10), (9-11) и (9-12) получаются очень простыми. Такими матрицами обычно и пользуются при расчетах цепей на низких частотах.

Для расчета цепей с электронными лампами иногда целесообразно пользоваться графами, которые получаются различными не только в зависимости от соединения элементов схемы, но в и зависимости от структуры уравнений для одной и той же схемы.

В качестве иллюстрации применения графов к расчету схем с электронными лампами построим графы сначала для простейших схем.

Рис. 9-18.

Для схемы включения триода с общим анодом (рис. 9-11) эквивалентная схема без учета емкостных проводимостей показана на рис. 9-18,а. Для этой схемы справедливы уравнения

    (9-13а)

Уравнениям (9-13а) удовлетворяет граф, показанный на рис. 9-18, б.

Приравнивая из первого и второго уравнений (9-13а), получаем:

из схемы рис. 9-18,а

    (9-13в)

Этим уравнениям соответствует граф на рис. 9-18,е, у которого отсутствует узел с напряжением Ой.

Построим граф для схемы включения с общей сеткой (рис. 9-10). Эквивалентная схема для этого случая изображена на рис. 9-19,а с учетом внутреннего сопротивления источника.

Для нее справедливы следующие уравнения:

которым удовлетворяет граф на рис. 9-19,б. Аналогичным способом можно построить граф для триода, включенного по схеме с общим катодом (рис. 9-8).

Рис. 9-19.

Рассмотрим еще более сложную схему двухкаскадного усилителя с общей катодной связью (рис. 9-20,а) и, пользуясь графами, найдем коэффициент передачи напряжения в этой схеме. Из рис. 9-20,а видно, что первая лампа включена по схеме с общим анодом, а вторая — по схеме с общей сеткой.

Рис. 9-20.

На рис. 9-20, б приведена общая эквивалентная схема для двухкаскадного усилителя, полученная соединением эквивалентных схем рис. 9-18,а и 9-19 с измененными обозначениями соответствующих параметров. Полный граф для заданной схемы построен путем присоединения графа для второй лампы к графу первой (рис. 9-20,в). Поскольку положительные направления токов в заданной и эквивалентной схемах {рис. 9-20, а и б) изменены на ирошвополажные по сравнению

с рис. 9-19,а и б, то у графа (рис. 9-20,б) изменены знаки параметров, связывающих соответствующие токи и напряжения.

Пользуясь формулой (4-32), можно сразу записать выражение для коэффициента передачи напряжения в следующем виде:

или

Числитель выражения (9-15) получен перемножением передач ветвей для пути графа (рис. 9-20,в) между узлами

Рис. 9-21.

В знаменателе передачи контуров записаны с положительными знаками, так как передачи контуров в графе (рис. 9-20, в) имеют отрицательные знаки; последнее слагаемое представляет собой произведение передач двух несоприкасающихся контуров.

Если в схеме усилителя (рис. 9-20,а) применяются две одинаковые лампы (с одинаковыми параметрами), т. е. то выражение для коэффициента передачи напряжения (9-16) значительно упрощается:

Перейдем к расчету простейших схем с транзисторами.

Пользуясь эквивалентной схемой транзистора с общей базой, сначала составим определенную матрицу узловых проводимостей и построим граф для этой схемы. На рис. 9-21,а изображена эквивалентная схема транзистора с общей базой, отличающаяся от схемы на рис. 9-16 тем, что ветвь с невзаимным элементом изображена виде параллельного соединения источника тока и проводимости коллектора

Напишем для всех четырех узлов схемы уравнения для узловых потенциалов:

Пользуясь этими узловыми уравнениями, составим неопределенную матрицу (сумма элементов по любой строке и любому столбцу равна нулю) узловых проводимостей:

Чтобы получить определенную матрицу, достаточно из матрицы (9-18) вычеркнуть один столбец и соответствующую строку. При вычеркивании четвертого столбца и четвертой строки определенная матрица узловых проводимостей имеет наиболее простой вид:

У этой матрицы, так же как у матрицы (9-10), отсутствует диагональная симметрия, что отражает нарушение принципа взаимности.

1 Аналогично можно получить определенные матрицы для транзисторов с общим эмиттером и с общим коллектором.

Чтобы построить граф для схемы рис. 9-21, а, запишем уравнения по законам Кирхгофа:

Этим уравнениям удовлетворяет граф на рис. 9-21, б.

Для эквивалентной схемы транзистора с общим эмиттером (рис. 9-22, а) по уравнениям

построен граф на рис. 9-22, б, у которого, так же как у графа рис. 9-21, б, напряжение и ток зависимые переменные.

Аналогичным путем построен на рис. 9-23, б граф для схемы транзистора с общим коллектором (рис. 9-23, а) по уравнениям

Эквивалентные схемы для транзисторов можно рассматривать и как невзаимные четырехполюсники относительно входных и выходных токов и напряжений.

Рис. 9-22.

В этом случае графы на рис. 9-21, б, 9-22, б и 9-23, б нужно преобразовать так, чтобы напряжения и токи были связаны между собой непосредственно через соответствующие коэффициенты. С этой целью исключим из указанных графов промежуточные узлы.

Рис. 9-23.

Так, если в первое и третье уравнения системы (9-20) подставить напряжение и ток из второго и четвертого уравнений той же системы, то после преобразований получим уравнения в форме Н:

где

Рис. 9-24.

Рис. 9-25

Полученным уравнениям (9-23) соответствует эквивалентная схема по рис. 9-24 и граф, показанный на рис. 9-25.

Такой же граф получается и для схемы по рис. 9-22, а с общим эмиттером (при исключении узлов у графа рис. 9-22, б), но, конечно, значения коэффициентов получаются другими:

Аналогично для схемы по рис. 9-23, а с общим коллектором (при исключении узла и петли с передачей а у узла на рис. 9-23, 6) получим граф по рис. 9-25 с передачами ветвей:

Рассмотрим несколько примеров на определение коэффициента передачи при помощи графов.

На рис. 9-26, а изображена эквивалентная схема транзистора с общим эмиттером. Выходные зажимы замкнуты на сопротивление транзистор питается от источника с синусоидальной э. д. с Е и внутренним сопротивлением Требуется определить коэффициенты передачи

и входное сопротивление схемы по отношению к зажимам с напряжением

Запишем для схемы рис. 9-26, а уравнения с контурными токами:

где второе уравнение получено после подстановки

Из уравнений (9-27) получим:

где

— коэффициент передачи тока .

По уравнениям на рис. 9-26, б построена основная часть графа с узлами .

Рис. 9-26

Из схемы рис. 9-26, а непосредственно следует, что

Эти соотношения также показаны на графе рис. 9-26, б. Коэффициент передачи К и определяется при помощи графа рис. 9-26, б по формуле (4-32):

Коэффициент передачи определяется из того же графа рис 9-26, б по той же формуле (4-32):

Отличие выражения для коэффициента от К и состоит в том, что в знаменатель КЕ входит дополнительное слагаемое — передача контура, состоящего из ветвей

Для определения входного Сопротивления схемы по отношению к зажимам с напряжением (рис. 9-26, а) можно пользоваться формулой (4-32), применяя ее к графу, показанному на рис. 9-26, в. Этот граф получен из графа рис. 9-25 при известных из (9-25) с добавлением ветви с сопротивлением причем отрицательный знак у сопротивления учитывает, что положительное направление тока в схеме рис. 9-26, а противоположно направлению того же тока на рис. 9-22, а.

На основании формулы (4-32) имеем из графа рис. 9-26, в следующее выражение:

где

После подстановки значений передач путей и определителей в выражение (9-32) и некоторых преобразований получим: