3-16. Баланс мощностей
Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи соблюдается баланс как мгновенных, так и активных мошностей. Сумма всех отдаваемых (мгновенных и активных) мощностей равна сумме
всех потребляемых (соответственно мгновенных или активных) мощностей. Покажем, что соблюдается баланс и для комплексный и, следовательно, для реактивных мощностей.
Пусть общее число узлов схемы равно 
. Здесь в отличие от обычных определений терминов узел и ветвь будем под узлом понимать и место соединения любых двух элементов схемы (источников и приемников), а под ветвью — каждый участок схемы, содержащий один из ее элементов.
Напишем для каждого из 
узлов уравнения по первому закону Кирхгофа для комплексов, сопряженных с комплексными токами:
Эти уравнения записаны в общей форме в предположении, что каждый узел связан со всеми остальными 
узлами. При отсутствии тех или иных ветвей соответствующие слагаемые в уравнениях выпадают. При наличии между какой-либо парой узлов нескольких ветвей число слагаемых соответственно увеличивается. Так, например, если между узлами 1 и 2 включены две ветви, то вместо 
в уравнения войдут суммы 
Умножим каждое из уравнений на комплексный потенциал узла, для которого составлено уравнение, и затем все уравнения просуммируем. Учтем, что комплексы, сопряженные с комплексными токами, входят в эти уравнения дважды (для двух различных направлений), причем 
и т. д. В результате получим:
т. е. сумма комплексных потребляемых мощностей во, всех ветвях цепи равна нулю. Здесь все слагаемые представляют комплексные потребляемые мощности, потому что они вычисляются для одинаковых положительных направлений напряжений (разностей потенциалов) и токов.
Полученное равенство выражает баланс комплексных мощностей. Из него следует равенство нулю в отдельности суммы потребляемых активных мощностей и суммы потребляемых реактивных мощностей. Так как отрицательные потребляемые мощности представляют собой мощности отдаваемые, то можно утверждать, что суммы всех отдаваемых и всех потребляемых реактивных мощностей равны Друг другу.
Аналогичную формулировку можно придать и балансу комплексных мощностей. Перенеся часть слагаемых в правую часть уравнения с противоположным знаком, т. е. рассматривая их как мощности отдаваемые, мы получим равенство сумм комплексных потребляемых
и отдаваемых мощностей:
При равенстве сумм комплексных величин суммы их модулей в общем случае не равны друг другу. Отсюда следует, что для полных мощностей S баланс не соблюдается.
Потребляемая реактивная мощность на входе любого пассивного двухполюсника должна равняться сумме реактивных мощностей, потребляемых индуктивностями и емкостями, которые входят в его схему:
Пользуясь соотношениями (3-47) и (3-48), получаем:
Заметим, что положения этого параграфа могут быть распространены и на цепи, между элементами которых имеются взаимные индуктивности, так как подобные цепи, как будет показано, можно свести путем преобразования к схемам, не содержащим взаимных индуктивностей.
