22-4. Методы расчета нелинейных цепей переменного тока
В теории линейных электрических цепей с постоянными параметрами весь анализ сводится к решению системы линейных дифференциальных или алгебраических уравнений. Математический аппарат для решения подобных уравнений был полностью разработан еще в начале прошлого века. Задача теории в последнее время сводилась к тому, чтобы найти наиболее экономичный и наглядный метод инженерного расчета, анализа или синтеза цепи. При этом для решения всех задач широко применяются принципы наложения и взаимности.
Значительно сложнее обстоит дело с расчетом нелинейных электрических цепей. Сама теория нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих процессы в нелинейных электрических цепях, разработана значительно меньше. Для нелинейных уравнений каждого типа существуют свои методы подхода и решения, причем многие нелинейные уравнения не имеют аналитических решений и требуют построения специальных функций. Особенно усложняется расчет нелинейных цепей тем, что в большинстве задач характеристики нелинейного элемента заданы графически и отсутствует достаточно простое математическое описание этих характеристик.
Однако инженерная практика требует получения хотя бы грубо ориентировочных расчетных соотношений, которые дают количественную оценку процессов, происходящих в нелинейных цепях. Именно поэтому в отличие от теории линейных цепей, где может быть получено решение задачи с любой точностью, основой теории нелинейных цепей является получение приближенных решений, дающих в основном качественную оценку процессов.
Развитие теории нелинейных электрических цепей относится в основном к нынешнему веку. В этой области ведущее значение имеют работы русских и советских ученых А. М. Ляпунова, Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и многих других. Из зарубежных работ большое значение для развития нелинейной электротехники имели исследования Пуанкаре, Ван-дер-Поля, Рюденберга и др.
Можно назвать следующие методы приближенного расчета нелинейных цепей переменного тока, получившие преимущественное распространение в практике инженерных расчетов.
1. Методы малого параметра и условной линеаризации. Одним из методов расчета нелинейной цепи является такое ее упрощение, основанное на пренебрежении относительно малыми величинами, чтобы можно было применять методы расчета линейных цепей, но при решении «квазилинейной» задачи вводить некоторые коррективы, обусловленные нелинейностью. Например, при расчете нелинейных цепей переменного тока, в которых значение высших гармоник относительно невелико, несинусоидальные токи заменяют эквивалентными синусоидами и применяют комплексный метод расчета, но с учетом нелинейной зависимости между действующими значениями и фазами эквивалентных синусоид тока и напряжения.
Разновидностью метода малого параметра является метод гармонического баланса. При расчете цепи этим методом рассматривают амплитуды основных гармонических составляющих токов и напряжений в нелинейной электрической цепи и пренебрегают действием всех высших гармоник. При этом иногда полагают, что амплитуды гармонических составляющих медленно изменяются, но нет необходимости учитывать спектр гармоник, связанных с изменением амплитуды.
Такое упрощение задачи по существу является заменой нелинейной зависимости линейной, справедливой только для определенного значения амплитуд тока или напряжения. Поэтому этот метод иногда называется методом гармонической линеаризации. Он был применен в работах Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси, затем в работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова и получил дальнейшее развитие в работах Л. С. Гольдфарба, Е. П. Попова и др. применительно к задачам теории автоматического регулирования.
При расчете переходных процессов метод условной линеаризации основывается на приближенной замене нелинейной функции линейной и применении решений линейного уравнения с последующим уточнением результата введением поправок.
Этот метод дает очень приближенное решение задачи, однако он наиболее прост и поэтому применяется для ориентировочного расчета процессов, анализ которых более точными методами представляет значительные трудности.
2. Метод аналитической аппроксимации нелинейной характеристики. Сущность метода заключается в приближенном выражении нелинейной характеристики некоторой аналитической функцией такого вида, чтобы достаточно просто решалось нелинейное дифференциальное уравнение цепи. Успешное применение метода зависит от того, насколько точно удалось подобрать аналитическое выражение для нелинейной характеристики и насколько просто решается полученное дифференциальное уравнение.
При решении дифференциального уравнения иногда прен гают некоторыми членами ввиду их относительной малости, сматривая их как своего рода малый параметр.
Эгот метод при расчете нелинейных цепей переменного применяется в сочетании с методом гармонической линеариг и дает возможность аналитически найти первую гармонику или напряжения в нелинейной цепи.
3. Метод кусочно-линейной аппроксимации характеристик припасовывания линейных решений. Сущность метода заключается в замене нелинейной характеристики некоторой ломаной 
и решении задачи методами линейной электротехники. Решить полученные для каждого из участков ломаной, «припасовываю одно к другому соответствующим выбором постоянных интегр вания.
Этот метод получил широкое применение для решения самых различных задач.
4. Итерационный метод. Применяя этот метод, сначала находят приближенное решение, а затем его уточняют путем подстановки решения в исходное уравнение цепи. Итерационные методы применяются в сочетании с методами малого параметра.
5. Графический метод. Сущность метода заключается в сведении дифференциальных уравнений цепи к системе нелинейных уравнений и получении решения графическими построениями.
Этим методом просто и точно рассчитывают переходные процессы в цепях с постоянными э. д с., описываемых дифференци ными уравнениями первого, а в несколько измененном виде — рого порядка. Для установившихся режимов в цепях с переменными э. д. с. этот метод применяется в сочетании с методом малого параметра и условной линеаризации.
Применительно к расчету переходных процессов графические методы качественного анализа процессов получили развитие в работах А. А. Андронова, С. Э. Хайкина и А. А. Витта и известны под названием метода фазового пространства.
6. Метод последовательных интервалов. Сущность метода заключается в замене дифференциального уравнения алгебраическим, содержащим приращения исследуемых величин за соответствующие интервалы времени. Решение задачи получается в результате множества элементарных расчетов, сводимых обычно в таблицу.
При помощи этого метода может быть проведено числеьное решение тех же задач, что и графическим методом. Метод последовательных интервалов менее нагляден, чем графический, и более громоздок, однако он хорошо сочетается с применением цифровых вычислительных машин, применение которых делает этот метод все более и более распространенным.
Из перечисленных методов графический метод наиболее на ден и в то же время дает удовлетворительную точность решения задачи. Однако при помощи графического метода трудно установить общие зависимости. Аналитический метод обычно менее нагляден,
иногда громоздок и менее точен, однако при помощи аналитического расчета удается получить общие расчетные зависимости. Численные итерационные методы и метод последовательных интервалов при малой наглядности и некоторой громоздкости вычислений позволяют получить наиболее точный результат.
В практических задачах обычно применяют то или иное сочетание различных методов расчета. При решении задач надо иметь в виду приближенный характер задания нелинейных зависимостей, которые могут существенно изменяться с течением времени, а особенно при замене деталей устройства. Поэтому простота и наглядность решения часто более желательны, чем точность математического описания нелинейного элемента и полнота исходных уравнений.
В гл. 23—26 рассматриваются различные технические задачи нелинейной электротехники и для расчета применяются перечисленные выше методы.
Все перечисленные методы приобретают особое значение в связи с применением электронных вычислительных машин (ЭВМ) для решения электротехнических задач. Применение ЭВМ для решения конкретных задач при заданных параметрах и характеристиках электрических цепей дает возможность рассчитывать режим в линейных и нелинейных цепях практически любой сложности и с любой требуемой точностью. При этом методы решения линейных и нелинейных задач различаются значительно меньше, чем при аналитических расчетах.
В связи с этим при рассмотрении явлений в нелинейных электрических цепях предпочтение отдается простоте и наглядности метода расчета и возможности суждения о явлении без его точного количественного анализа, который в случае необходимости всегда может быть произведен при помощи ЭВМ.
