15-2. Законы Ома и Кирхгофа и эквивалентные схемы для частотных спектров

Рассмотрим цепь (рис. 14-1), которая была подключена к источнику и в момент переключается к источнику э. д. с.

Найдем согласно (15-9) частотный спектр э. д. с. :

Закон Ома для частотных спектров при ненулевых начальных условиях получим из (14-17) при

Знаменатель этого выражения

представляет собой комплексное сопротивление цепи , применявшееся ранее для расчета установившихся (гармонических) процессов. Как показывает (15-13), оно находит применение и для расчета переходных процессов, когда токи и напряжения могут изменяться во времени не гармонически, а по самым различным законам. В самом деле, при помощи по формуле (15-13) найдем частотный спектр тока . А далее по формуле, аналогичной (15-10), и ток переходного процесса

    (15-14)

Как следует из более подробных исследований, если э. д. с и токи ограничены, но не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости в бесконечных пределах, то при вычислении интеграла (15-14) полюсы подынтегральной функции при интегрировании по вещественной оси нужно обходить снизу.

Рис. 15-1.

Из (15-14) заключаем, что ток также может быть представлен в виде суммы элементарных гармоник с частотами, непрерывно изменяющимися от до а величина представляет собой элементарную гармонику с частотой функции

Аналогично изложенному в § 14-3 и на основании соотношения (15-13) можег быть составлена эквивалентная комплексная (для частотных спектров) схема (рис. 15-1). Поэтому при расчете переходных процессов частотным методом можно сначала составить эквивалентную комплексную схему и по ней прямо находить частотные спектры токов и напряжений.

Из (15-13) получим закон Ома для частотных спектров при нулевых начальных условиях

    (15-15)

а из равенств (14-20) и (14-21) при — уравнения первого и второго законов Кирхгофа для частотных спектров

Таким образом, в общем случае вычисление токов или напряжений методом интеграла Фурье выполняется следующим образом Для заданной цепи составляется эквивалентная комплексная схема. По схеме определяются частотные спектры токов или напряжений при помощи любого из известных методов расчета линейных цепей при установившемся режиме (методы контурных токов, узловых потенциалов и т. д.) Расчет можно также свести, применяя принцип наложения, К нулевым начальным условиям (см § 14-5) Для нахождения оригинала можно пользоваться таблицами (см приложение 3) или применять теорему разложения, формула для которой получается из (14-10) при Поэтому, если

то

где — производная от по — простые корни характеристического уравнения

Заметим, что при комплексных и сопряженных корнях характеристического уравнения частоты cofe получаются также комплексными, но сопряженными относительно вещественных частей.

Пример 15-1. Найти ток и напряжение на конденсаторе при включении цепи на экспоненциальное напряжение

где .

Решение. Прежде всего убедимся, что функция и представима интегралом Фурье Действитетьно, функция и абсолютно интегрируема в бесконечных пределах, так как интеграл

конечен при любом

По таблицам функций и их частотных спектров (см приложение 3) или по извесгному лапласову изображению функции и, запишем ее частотный спектр.

откуда получаем амплитудно- и фазочастотную характеристики приложенного напряжения

Отсюда следует, что включение апериодического напряжения и можно рассматривать как включение бесконечно большого числа элеметарных гармонических колебаний, частоты которых изменяются непрерывно от минус до плюс бесконечности.

Рис. 15-2.

Рис. 15-3.

На рис 15-2 даны амплитудно- и фазочастотная характеристики

На рис. 15-3 построена частотная характеристика , т. е., иначе говоря годограф комплексной функции при изменении от 0 до которая представляет собой полуокружность, что следует из выражения для

Комплексное сопротивление цепи

Так как начальные условия нулевые, то на основании закона Ома для частотных спектров

Применяя для вычисления тока теорему разложения (15-19), обозначим

и найдем корни характеристического уравнения

Вычислив значения множителей обоих слагаемых теоремы разложения

после простых преобразований получим:

Напряжение на конденсаторе находим, интегрируя ток и полагая постоянную интегрирования равной нулю. ясно из физических соображений (никакой постоянной составляющей в составе напряжения в данном случае быть не может);

Найдем напряжение несколько иначе и притом для случая одинакового затухания , т. е. в случае равных корней знаменателя

Так как

применяя для вычисления формулу вычета в кратном полюсе (14-14), получаем

Пример 15-2. Найти ток в ветви с сопротивлением после включения рубильника (рис. 15-4.)

Дано: .

Рис. 15-4

Рис. 15-5.

Рис. 15-6.

Решение Рассчитываем режим до коммутации (рис 15-5).

Задачу решим методом приведения к пулевым начальным условиям Для этого найдем напряжение на зажимах рубильника

Частотный спектр напряжения на зажимах рубильника

Рассчитаем переходный процесс в схеме рис 15-6 Для этого найдем сначала заимную комплексную проводимость первой и третьей ветвей для любой частоты

Частотный спектр тока в схеме рис 15-6

Оригинал тока на основании теоремы расложения (15-19) равен

Пользуясь методом наложения, находим ток переходного процесса в ветви с сопротивлением

Примеры показывают, что расчеты переходных процессов операторным методом и методом интеграла Фурье весьма похожи друг на друга. Преимущества метода интеграла Фурье сказываются при расчете переходных процессов приближенными способами.