17-3. Входные функции цепей. Положительные вещественные функции

Как известно из предыдущего (§ 14-3, 14-5 и др.) входные операторные сопротивления и проводимости двухполюсников представляются рациональными дробями, т. е. отношением двух многочленов

и обладают четырьмя важными свойствами.

1. При вещественных значениях функции — вещественные, так как коэффициенты полиномов — вещественные. Действительно, коэффициенты при определении по сопротивлениям отдельных ветвей получаются суммированием, умножением или делением параметров ветвей и С, которые вещественны.

2. Синтез будем проводить для пассивных двухполюсников, у которых все нули и полюсы входных функций расположены в левой полуплоскости комплексного переменного или на мнимой оси этой плоскости, причем в последнем случае все полюсы и нули простые.

В отношении последнего свойства следует отметить, что если при расположении корней характеристического уравнения на мнимой оси корень был бы, например, кратности , то соответствующее ему решение характеристического уравнения имело бы вид:

Это приводило бы к нарастающему свободному процессу, что невозможно в пассивном двухполюснике.

При сформулированных выше условиях оказывается, что все коэффициенты полиномов должны быть положительными.

Убедиться в этом можно представив, например, полином в следующем виде:

Для каждой пары комплексных и сопряженных корней будем иметь:

Для вещественных корней будем иметь множители Следовательно, при все коэффициенты при в множителях полинома неотрицательны, а поэтому выполнив в (17-7) перемножение всех множителей, получим, что все коэффициенты будут положительными.

Рис. 17-7.

3. Вещественные части входных функций положительны или равны нулю, т. е. или , при условии, что .

Докажем это свойство, т. е. что , если для чисто реактивной цепи. Например, для чисто реактивной цепи L, С имеем:

Это выражение для по форме полностью совпадает с комплексным сопротивлением цепи, приведенной на рис. 17-7:

    (17-10)

Очевидно, что при . Таким образом, для любой чисто реактивной цепи, состоящей из L и С элеменюв, может быть при построена аналогичная цепь, но уже содержащая активные элементы Так как для аналогичной цепи , что ясно из физических соображений, то получаем, что и для исходной чисто реактивной цепи при . Сказанное тем более справедливо, если исходная цепь содержит активные сопротивления и проводимости.

4. Степени пит полиномов числителя и знаменателя не должны отличаться друг от друга больше чем на единицу

Нетрудно убедиться непосредственно, что для любого двухполюсника это правило будет выполняться.

Функции, обладающие первыми тремя указанными свойствами, относятся к положительным вещественным функциям.

Таким образом, для того, чтобы рациональная дробь (17-5) была операторным выражением входных функций или и, следовательно, могла бы быть реализованной в виде электричекой

цепи, она должна быть положительной вещественной функцией обладать четвертым свойством.

Сказанное относится к любым пассивным двухполюсникам, содержащим не только реактивные, но и активные сопротивления.