17-6. Синтез реактивных двухполюсников. Метод Фостера

Входная функция реактивного двухполюсника, например или дана выражениями (17-15а) и (17-15). Требуется найти его схему и параметры, т. е., как говорят, реализовать двухполюсник по частотной характеристике .

Рис. 17-13.

Рис. 17-14.

Как было указано выше, задачи синтеза неоднозначны, т. е. целый ряд схем могут иметь один и тот же вид частотной характеристики . Поэтому обычно выбирают типовые схемы, к которым прежде всего относятся так называемые канонические схемы, реализуемые по методу Фостера.

Различают два вида канонических схем реактивных двухполюсников.

Первая каноническая схема составляется из последовательно включенных параллельных L, С-контуров, причем один или два Из них могут быть непотными из-за отсутствия в них либо индуктивности, либо емкости. На рис. 17-13 приведена схема с двумя неполными

контурами Вторая каноническая схема составляете из параллельно включенных последовательных контуров, причем один или два из них могут быть неполными. На рис. 17-14 приведена схема с двумя неполными контурами .

Для синтеза первой канонической схемы запишем комплексное сопротивление контура схемы (рис. 17-13):

где — резонансная частота контура.

В операторной форме для имеем:

    (17-23)

где . Заметим, что полюсы комплексно-сопряженные равны и лежат на мнимой оси.

Таким образом, для синтеза первой канонической схемы нужно представить в виде суммы простых дробей вида (17-23), дополненной слагаемым если схема имеет в виде первого неполного контура индуктивность и дополненной еще слагаемым если схема имеет в виде второго неполного контура емкость Иными словами, для синтеза первой канонической схемы заданную равенством (17-14а) функцию следует представить в виде

    (17-24)

причем число слагаемых суммы равно числу точек параллельного резонанса у частотной характеристики или, что то же самое, числу пар полюсов у сопротивления , не считая полюсов при и

Первое слагаемое будет в формуле (17-24), если в выражении для коэффициент отличен от нуля. В этом случае до разложения на простые дроби из него нужно выделить целую часть Второе слагаемое будет в формуле (17-24), если в знаменателе множитель выходит за скобки.

Если в схеме рис. 17-13 есть неполный контур с индуктивностью то это обеспечивает условие при со для характеристик типа . Если в схеме рис. 17-13 есть неполный контур с емкостью то это обеспечивает условие при для характеристики типа

Значения всех коэффициентов А находятся при помощи интегральных вычетов или из простых соотношений:

Отсюда следует, что для определения А, следует предварительно найти все корни знаменателя относительно т. е. представить его в виде (17-15).

Переходя ко второй канонической схеме, записываем комплексное сопротивление контура (рис. 17-14):

    (17-26)

где — резонансная частота контура.

Поскольку все ветви в схеме рис. 17-14 соединены параллельно, проще иметь дело с входной проводимостью . Запишем в операторной форме:

    (17-27)

где Как и для первой схемы, нули , т. е. полюсы — комплексно-сопряженные, равны и лежат на мнимой оси.

Для синтеза второй канонической схемы нужно проводимость разложить на простые дроби вида (17-27), дополнив разложение слагаемым если степень многочлена числителя на единицу больше степени его знаменателя, и дополнив результат еще слагаемым если знаменатель дроби имеет корень Формула для совпадает с формулой (17-24), а значения коэффициентов А находятся по формулам, аналогичным соотношениям (17-25).

Пример 17-4. Дана входная функция реактивного двухполюсника

Построить частотную характеристику и синтезировать (реализовать) двухполюсник в виде первой и второй канонических схем.

Решение. Поскольку решение проводится методом Фосгера, находим корни знаменателя . В данном случае их легко найти, решив биквадратное уравнение откуда

Сопротивление представим в виде

Подставляя и обозначая будем иметь:

По выражению на рис. 17-10 построена частотная характеристика реактивного двухполюсника, относящаяся к типу . В самом деле легко видеть, что сопротивление характеристика имеет внешних нуля Кроме того, имеет две точки параллельного резонанса при и одну точку последовательногорезонанса при разумеется, все полюсы и нули лежат на мнимой оси.

Отметим, что задачу можно было бы поставить несколько иначе. Реактивный двухполюсник можно было бы прямо задать частотной характеристикой вида

где определены данными выше значениями, а К может быть найдено если задано значение для одной из нерезонансных частот. Например при задано Ом, откуда получаем

Реализовав двухполюсник в виде первой канонической схемы, что задает структуру искомой схемы (рис. 17-10), представим в виде

откуда

Аналогично находим остальные параметры:

Реализуя далее двухполюсник в виде второй канонической схемы, что также задает его искомую структуру (рис. 17-15), представим в виде

Рис. 17-15.

Из схемы рис. 17-15 следует, что имеет два внешних полюса (при ) и один внутренний полюс (при Тогда в силу ранее доказанного свойства, что для всех частот, между тремя полюсами входной функции КБХ должны располагайся два ее нуля, что и приводит к тому же виду частотной характеристики , которая приведена на рис. 17-10. Найдем постоянные и