12-7. Расчет цепей с несинусоидальными периодическими э. д. с. и токами

Если в линейной цепи действует один или несколько источников несинусоидальных периодических э. д. с. или токов, то расчет такой цепи распадается на три этапа:

1. Разложение э. д. с. или токов источников на постоянную и синусоидальные составляющие (получение дискретного спектра).

2. Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи для каждой из составляющих в отдельности.

3. Совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих.

Суммирование составляющих в общем виде часто бывает затруднительно и далеко не всегда необходимо, так как уже на основании дискретного спектра можно судить о форме кривой и об основных величинах, ее характеризующих.

Рассмотрим второй этап, представляющий собой основную часть расчета цепей с несинусоидальными э. д. с. и токами.

Если, например, несинусоидальная э. д. с. представлена в виде суммы постоянной и синусоидальных составляющих, то источник

несинусоидальной э. д. с. можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянной э. д. с. и источников синусоидальных э. д. с. с различными частотами. Так, если э. д. с. (рис. 12-13, а)

    (12-33)

то действие источника такой э. д. с. аналогично действию трех последовательно соединенных источников э. д. с. (рис. 12-13, б):

    (12-34)

Применяя принцип наложения и рассматривая действие каждой из составляющих э. д. с. в отдельности, можно найти составляющие токов во всех участках цепи.

Рис. 12-13.

Мгновенное значение тока в цепи равно сумме мгновенных значений составляющих токов. Если, например, в какой-либо ветви токи, создаваемые соответственно равны то общий ток

Таким образом, расчет линейной цепи с несинусоидальными э. д. с. сводится к решению задач с синусоидальными э. д. с., где — число синусоидальных составляющих э. д. с. различных частот, и одной задачи с постоянными э. д. с.

При решении каждой из этих задач необходимо учитывать, что для различных частот индуктивные и емкостные сопротивления неодинаковы. Индуктивное сопротивление для гармоники в k раз больше, а емкостное, наоборот, в k раз меньше, чем для первой:

Активное сопротивление также зависит от частоты, возрастая с ростом последней вследствие поверхностного эффекта. Когда расчет ведется для невысоких частот и относительно малых сечений проводов, можно не учитывать изменения сопротивления с частотой и считать, что при всех частотах активное сопротивление равно сопротивлению при постоянном токе.

Если источник несинусоидальной э. д. с. подключен непосредственно к зажимам емкости, то для гармоники тока

    (12-35)

Чем больше k, тем меньше по величине реактивное сопротивление емкости для этой гармоники. Следовательно, высшая гармоника э. д. с. или напряжения, даже если ее амплитуда составляет незначительную долю амплитуды основной гармоники, может вызвать ток в емкости, соизмеримый с током основной гармоники и даже его превышающий, Поэтому при напряжении, близком к синусоидальному, ток в емкости может быть резко несинусоидален из-за высших гармоник.

При подключении источника синусоидальной э. д. с. к индуктивности ток гармоники

    (12-36)

где

С увеличением порядка k гармоники индуктивное сопротивление для этой гармоники возрастает. Поэтому в токе через индуктивность высшие гармоники всегда имеют относительно меньшее значение, чем в напряжении на ее зажимах; даже при резко несинусоидальной кривой напряжения форма кривой тока нередко приближается к синусоиде.

Рис. 12-14.

Если задача поставлена иначе, заданы не э. д. с., а токи несинусоидальных источников, то принцип решения задачи остается тем же.

Источник несинусоидального тока всегда можно представить в виде параллельного соединения ряда источников, синусоидальный ток каждого из которых равен соответствующей составляющей несинусоидального тока.

Так, если к узлам ветви или двухполюсника подводится несинусоидальный ток (рис. 12-14, а):

    (12-37)

то источник такого тока действует подобно параллельному соединению трех источников (рис. 12-14, б):

Рассчитав напряжения на сопротивлении Z от каждой из составляющих тока, легко найти мгновенное значение полного напряжения как сумму отдельных составляющих.

При расчете каждой из гармоник можно пользоваться комплексным методом и строить векторные диаграммы для каждой из гармоник в отдельности. Однако недопустимы суммирование векторов и сложение комплексных напряжений и токов различных гармоник.

Действительно, при определении мгновенных значений тока по комплексному необходимо вектор, изображающий комплексную амплитуду каждой гармоники, вращать со своей угловой скоростью и строить зависимость от времени его проекции на мнимую ось. Так как для различных гармоник частоты вращения различны, то геометрическое суммирование векторов, изображающих комплексные амплитуды, дает возможность определить мгновенное значение их суммы только в момент времени и в общем случае не имеет смысла. При вычерчивании кривых отдельных гармоник следует всегда иметь в виду, что период гармоники обратно пропорционален ее номеру. Следовательно, если по оси абсцисс отложено то, соблюдая один и тот же масштаб, вместо углов надо откладывать углы .

Пример 12-8. В схеме высокочастотного лампового генератора, изображенного на рис. 12-15, а, известны ток i, который протекает через электронную лампу источника питания.

Рис. 12-15.

Пусть при заданных напряжениях на сетке и аноде электронной лампы ток амперах)

Найти ток в источнике питания и ток в конденсаторе

Решение. Для определения токов и напряжений необходимо независимо рассчитать три схемы, изображенные на рис 12 15, б-г На схемах показаны токи источников различных частот и значения параметров

Рис. 12-16.

Рассчитав токи в каждой из схем, получаем округленно: для постоянной составляющей

для первой гармоники

для второй гармоники

Просуммировав мгновенные значения различных гармонических составляющих, получим.

На рис 12-16 построен график составляющих и результирующего тока Так как по оси абсцисс отложено , то при построеичи синусоиды второй гармоники начальная фаза (90°) разделена на номер гармоники .

Пример 12-9. Определить напряжение на вторичных зажимах четырехполюсника в режиме холостого хода при известном напряжении на первичных зажимах (рис 12-17)

Для четырехполюсника теоретически или экспериментально получена зависимость от частоты

где — модуль и аргумент комплексного числа

Напряжение на первичных зажимах предаавляет собой сигнал, модулированный по амплитуде, спектр которого задан уравнением (12-28)

Решение Зная напряжение и на первичных зажимах четырехполюсника, разложим его на гармонические составляющие

и будем искать напряжение на вторичных зажимах в вида ряда

где

Для рассматриваемою четырехполюсника при холостом ходе

где

На рис. 12-18 построены графики .

Чтобы рассматриваемый сигнал проходил через четырехполюсник без существенных искажений, мало отличалось от и, необходимо выбрать параметры четырехполюсника, удовлетворяющие условию

Как следует из рис 12-10 и 12-18, при этом условии напряжения на влоде и выходе четырехполюсника практически не будут отличаться, так как для всех трех составляющих частот сигнала

Рис. 12-17.

Рис. 12-18.